고급물리:질량중심

이 틀은 틀:현재 교육과정:고급물리에서 관리한다. 틀:15개정 고급물리

틀:15개정 고급물리 단원 보기

1. 역학

1. 고급물리:운동
2. 고급물리:운동 법칙
3. 고급물리:일과 에너지
4. 고급물리:퍼텐셜 에너지
5. 고급물리:에너지 보존
6. 고급물리:질량중심
7. 고급물리:충돌과 추진
8. 고급물리:회전운동과 운동법칙
9. 고급물리:행성의 운동

2. 전자기학

1. 고급물리:가우스의 법칙
2. 고급물리:전위
3. 고급물리:전기 용량
4. 고급물리:전류와 저항
5. 고급물리:키르히호프
6. 고급물리:자기장
7. 고급물리:전류가 만드는 자기장
8. 고급물리:유도

3. 광학

배우는 이유

흥미적 이유	출발질문(마지막까지 학습한 후에 대답해보세요~) 지금까진 물체를 하나의 입자처럼 다루어 왔는데, 부피를 가진 실제 세계에서도 지금까지 배운 방식을 그대로 적용할 수 있을까? 오뚝이가 넘어지지 않고 다시 서는 이유는?
직업적 이유	각종 이공계 학문의 기초. 로켓의 추진을 설명하는 간편한 도구.
학문적 이유	입자의 충돌을 설명하는 간편한 도구.
너희들은?
배워야 할 것

학습

영상

실험	영상

수업요약

질량중심

개념	설명
질량중심	물체의 모든 질량이 모인 것처럼 보이는 한 점.
1차원에서 질량중심 찾기	입자 1이 원점에, 입자 2가 d 지점에 있다면 질량중심은 어디에 있을까? 시소와 균형의 경험으로부터... 만약 두 입자의 질량이 같다면? 두 입자의 질량비가 n:m이라면? 질량중심으로부터의 거리를 각각 $d_{1},d_{2}$라고 하면 $m_{1}d_{1}=m_{2}d_{2}$의 관계가 있을 것이다. $d_{1}+d_{2}=d$ 임을 이용하여 $d_{2}$를 소거해 정리하면 질량중심은 $d_{1}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}d$ 이다.
1차원에서의 일반화	입자 1이 항상 원점에 있는 건 아닐테니, 입자 1이 $x_{1}$에 있다고 가정하면...? $x_{com}={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$ 어디서 많이 본 형태인데... 수학에서 내분점 식과 동일한 형태이다.
3차원에서의 일반화	직선에서 내분점을 구하듯, 자연스럽게 3차원으로 확장된다. $x_{com}={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$, $y_{com}={\frac {m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$, $z_{com}={\frac {m_{1}z_{1}+m_{2}z_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$
여러 입자에 대한 일반화	다른 입자를 추가한다면..? 기준 두 입자를 하나의 입자로 취급할 수 있다. $x_{3com}={\frac {Mx_{com}+m_{3}x_{3}}{M+m_{3}}}$ $x_{3com}={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}$ n개 입자들의 질량중심은 $x_{com}={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+\cdots +m_{n}x_{n}}{m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}}}={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}$
수많은 연속 입자들에 대한 일반화	수많은 미소질량들의 질량중심. $x_{com}={\frac {\Delta m_{1}x_{1}+\Delta m_{2}x_{2}+\cdots +\Delta m_{n}x_{n}}{\Delta m_{1}+\Delta m_{2}+\cdots +\Delta m_{n}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\Delta m_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\Delta m_{i}}}$ ${\frac {\sum _{i=1}^{n}\Delta m_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\Delta m_{i}}}={\frac {\int xdm}{\int dm}}={\frac {1}{M}}\int xdm$ 이걸 적분하려면 dm과 x의 관계를 알아야 하는데, 이를 위하여 밀도가 일정하다 가정하여 다음과 같이 쓴다. ${\frac {1}{M}}\int xdm={\frac {1}{M}}\int xdV{\frac {M}{V}}$ 보통 dV는 위치변수의 영향을 받아, $A(x)dx$ 로 쓴다. $x_{com}={\frac {1}{V}}\int xA(x)dx$

질량중심과 뉴턴의 법칙

물체를 하나의 점으로 취급했을 때 뉴턴의 법칙이 그대로 적용될까??

개념	설명
관성의 법칙	두 입자가 충돌할 때 질량중심의 변화.
가속도의 법칙	질량중심 자체의 미분. 가속도의 법칙을 다루는 중에 입자 사이의 운동량 보존법칙을 얻을 수도 있다.
작용-반작용의 법칙	위 법칙의 적용으로 그대로 적용됨을 알 수 있다.

############ 2차시로 나누어 진행.

여러 강체들의 질량중심

구분	설명
이등변삼각형	모든 도형의 기초는 삼각형...
반구
반구껍질
반원고리	일반적인 순서라면 1,2,3차원 순으로 올라가는 게 맞지만.. 여긴 적분이 어려워서 뒤에 배치했다.
반원반

• 강체 안에 구멍이 나 있는 경우.

이외 삼각형 고리의 질량중심이라든가... 이런저런 게 가능하겠는걸?

전개질문

1. 각각의 회전관성을 증명하는 연습을 해보세요.(따로 검사는 안함. 설문엔 아무말이나 쓰세요.)

도착질문

1. 또 어떤 물체의 질량중심을 알아보면 좋을까??

2023 2학년 전상영의 문제.

마찰이 없는 면 위에 의자가 놓여있고, 그 위에 사람이 움직이면, 질량중심의 위치는 그대로이다. 그렇다면 현실 세계에서는 왜 몸을 앞뒤로 움직이며 앞으로 갈 수 있는걸까? 외력의 작용을 과정마다 설명하시고 이렇게 움직일 수 있는 조건에 대해 말하시오

학생들의 질문

분류하지 않은 질문

분류	질문	대답
개념	무게중심과 질량중심의 차이는? 무게 중심과 질량 중심은 같은 건가요?	무게중심은 질량중심과 유사하게 무게가 한 지점에 있는 것처럼 작용하는 점이다.(물리적으론... 알짜 토크가 0이 되는 지점) 기본적으로 질량중심과 무게중심의 위치는 동일하지만, 물체가 아주 커져서 입자마다 받는 중력가속도의 크기가 달라지면 달라질 수 있다.
	액체의 경우 질량중심이 어떻게 되나요?	중력을 버티지 못하고 질량중심이 아래로 가라앉습니다. 하지만, 액체가 흩어져도 x축 방향의 질량중심은 변하지 않습니다.
	반발계수는 왜 e인가요?	그러게요. 영어로는 coefficient of restitution인데 말이죠; 아마 뉴턴이 쓴 표기가 오늘날까지 이어진 게 아닐까 싶은데... 반발의 정도는 물체의 탄성과도 관련이 있잖아요? elasticity의 e가 아닐까요? 정확한 출처를 찾아온다면 세특 ㄱㄱ함~
	3차원에서 질량중심은 어떻게 구하나요?	1,2차원에서와 동일합니다. z축에 대해서만 더 해주면 됨.
	질량중심 구할 때 삼각함수의 역함수를 사용했었던 것 같은데 치환적분을 이용하면 훨씬 간단하게 계산할 수 있지 않나요?	ㅇ옷;;;; 어떻게? 알려주세요!
	원자의 질량중심 을 구한다면 불확정성의 원리에 의해 질량 중심이 확률적으로 나타나나요?	네. 명확한 지점은 고전역학에서 가능한 거니까요!
	실제세계에서는 밀도가 부분마다 모두 다르고 함수 형태로 나타내기 쉽지 않을텐데 질량중심을 수식적으로 구할 수 있나요	완벽한 삼각형을 그릴 수 없지만, 삼각형의 성질을 알면 많은 걸 할 수 있듯.. 근사적으로 알아가는 것 자체로도 가치가 있죠.
	질량중심이 도넛의 가운데 빈 공간인 경우도 있나요? 질량 중심이 물체 바깥에 있을 수 있나요?	네. 질량중심이 물체 밖에 있는 경우도 있어요!!!
	책상?에 사슬같은 연속체가 걸쳐져서 떨어지고 있으면 질량중심으로 퍼텐셜 에너지 변화량, 어떤 지점에서의 속도, 모두 추락했을 때 바닥에 한 일 등을 어떻게 계산해야 하나요?
	물리는 어떤 세계인가요. 순수물리도 깊이 있지만 공학(응용)물리도 장난아닐것 같은데	배워야 할 게 정말 많은 세계겠지요.
호기심
기타
헛소리	물리학vs인간관계 뭐가 더 어려운가요? 그 이유는?	그건 성향에 따라 다른 걸로...

더 나아가기

교과 내용이 너무 쉬워서 더 공부하고 싶은 사람들은 보세요~

보기 전에 먼저 생각해보세요~

수업 후, 흥미로운 것

시간이 남을 때에만 보세요~

위치에너지의 위력. https://i.imgur.com/MvtTE8w.mp4

남자 다수가 모이면 하는 병신짓. https://www.dogdrip.net/435829635

답

지금까진 물체를 하나의 입자처럼 다루어 왔는데, 부피를 가진 실제 세계에서도 지금까지 배운 방식을 그대로 적용할 수 있을까?
답변	선생님코멘트
아니요, 입자세계에서는 밀도를 고려하지 않고 계산하였지만, 실제 세께는 밀도를 고려해야해서 약간의 변형이 필요하다고 생각합니다	앗; 그;; 그렇긴 하죠;;; 밀도도 고려해야 합니다;; 굉장히 복잡해서.. 대충 무시하면서 다루긴 하지만;;
아니요. 밀도가 균일하지 않습니다. 안될 것 이다. 질량 분포가 고르지 않기 때문이다.	균일하지 않은 밀도를 위치에 대한 함수로 표현할 수 있다면 계산에 무리는 없을듯!!
안될듯	;;;
질량중심을 잘 따지고 물체가 변하거나 부서지지 않게 하면 된다 고려해줘야 하지만 질량 중심에서의 하나의 입자로 생각하면 대강 비슷하게 다룰 수 있지 않을까요? 시그마를 이용 못 하므로 적분해주자	네. 논리적인, 수학적인 모델을 현실세계에 적용하기 위한 논의죠.
질.량.중.심. 우리가 질점으로 다뤄왔던 공식들이, 질량중심에도 똑같이 적용된다는 것을 하나씩 증명해나가면 마음편히 쓸 수 있지 않을까요. 우리가 했었던 운동량 보존이나 뉴턴의 운동법칙같은것.
또 어떤 물체의 질량중심을 알아보면 좋을까??(이 설문과 별개로, 나중에 증명해서 와보세요~ 세특에 써줌.)
답변	선생님코멘트
자신 조성하의 질량중심
볼펜	오. 볼펜 광고할 때 질량중심 이야기하는 회사도 있음!
우주의 질량중심을 구하면 재미있지 않을까요	오... 그곳이 아마 빅뱅이 일어난 곳이겠지요...! 어떻게 구할 수 있을까!?
비행기의 질량중심
피카츄(사진을 가져와서 2차원에 밀도가 균일하다면 가능할지도?)
사분원	괜찮은데!?
사람이 살이찌거나 빠질 때 몸의 질량 중심의 변화? 어떠한 방식으로 어디에 살이쪘는지에 따라 달라지지 않을까요	오... 생물 R&E나 탐구논총으로 괜찮은 주제겠네요!
로켓이나 비행기처럼 연료감소로 무게중심이 변화하는 물체. 실제 설계에도 중요할듯. mig21은 연료통 설계를 잘못해서 연료를 모두 소비하면 굉장히 불안정해서 연료를 다 쓰지 않고 남겨놔야 했다네요.	오.. 이런 건 어디에서 아는거얔ㅋㅋㅋ
한 변은 곡선(포물선)이고 한 변은 직선으로 둘러싸인 물체. (U모양 위에 _가 덮여져 있는 모양?)
태양계의 질량중심(태양,행성,위성만)
고깔 모양(바닥 뚫린 원뿔)	좋은 주제인 듯합니다!
답변	선생님코멘트

생기부 기록 예시

	선생님코멘트
	열팽창의 예시를 찾아보라 지시했을 때 여타 학생들이 교과서에서 안내되는 예시를 답하는 반면, 독자적인 조사로 참신한 답을 찾아내는 의욕과 성실함을 갖춤.