고급물리:운동

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1. 역학

1. 고급물리:운동
2. 고급물리:운동 법칙
3. 고급물리:일과 에너지
4. 고급물리:퍼텐셜 에너지
5. 고급물리:에너지 보존
6. 고급물리:질량중심
7. 고급물리:충돌과 추진
8. 고급물리:회전운동과 운동법칙
9. 고급물리:행성의 운동

2. 전자기학

1. 고급물리:가우스의 법칙
2. 고급물리:전위
3. 고급물리:전기 용량
4. 고급물리:전류와 저항
5. 고급물리:키르히호프
6. 고급물리:자기장
7. 고급물리:전류가 만드는 자기장
8. 고급물리:유도

3. 광학

배우는 이유

흥미적 이유	출발질문(마지막까지 학습한 후에 대답해보세요~) 벡터는 (값, 값2, 값3) 형태로 쓸 수도 있는데 왜 굳이 î, ĵ, k̂ 같은 문자를 사용할까?
직업적 이유	각종 이공계 학문의 기초.
학문적 이유	운동을 표현하는 방식과, 가장 간단한 운동들에 대하여
너희들은?	내 밥줄이기 때문. 물체의 움직임을 수식으로 표현하여 시간이 지남에따라 물체의 위치를 표현할 수 있기 때문이다. 벡터의 기본성질과 응용을 알 수 있고, 속도와 가속도를 미분으로 구해낼 수 있다. 앞으로 물리를 하는 사람이라면 무조건 필요할거 같다. 앞으로 계속 써야할거 같기 때문이다. 하지만 물리를 안 배운다면 생활하는데에 있어 필요없기에 안 배워도 될 것 같다. => 하지만, 수학을 사용하는 학문이라면... 언젠가 만나게 될듯; 한국어를 하기 위해 가나다를 배우듯 물리를 하려면 기초를 배워야 한다고 생각한다. 크기와 방향이 있는 물리량은 일상생활 곳곳에서 확인할 수 있습니다. 우리가 주는 힘에 따른 변화를 정확하게 알기 위해서 오늘 배운 내용을 배워야 하는 이유라고 생각합니다. 운동이 어떻게 변화하는지 모양이 어떻게 변화하는지 등 궁금증을 해결 할 수 있는 내용이라고 생각되어 배워야 한다고 생각합니다.
배워야 할 것	벡터의 내적 증명 가속도 구하는 방법 포물선 운동 여러가지 상황에 적용시켜보기

학습

영상

실험	영상

수업요약

벡터

크기와 동시에 방향을 가진 물리량.

개념	설명	의미
벡터의 크기	$\mid V\mid$
벡터 덧셈	같은 성분끼리 더한다.	방향을 더하거나 합력의 방향을 구할 수 있다.
벡터 뺄셈	같은 성분끼리 뺀다.	단순히 뺄 벡터에 -1을 곱하여 더한 것과 같아, 덧셈과 근본적으로 동일.
스칼라 곱(내적)	${\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}$ 같은 성분끼리 곱한 후 모두 더한다.	벡터의 수직여부 파악. 벡터의 사이각 파악.($ab\cos \theta$) 일과 에너지 계산에서 주로 사용.
벡터곱(외적)	${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}$	연산하는 두 벡터에 수직인, 오른손법칙을 따른다.(비가환)(회전. 행렬의 성질을 따른다.) 벡터의 사이각 파악.($ab\sin \theta$) 토크 계산에서 주로 사용.
벡터 나누기	진정한 의미의 역원은 없음.

가속도

운동을 수학적으로 분석하기 시작하면서 나타난 개념. 운동의 정도를 정량화하기 위하여.

시간당 속도의 변화량. 벡터이기 때문에 필요한 성분만 나누어 살필 수 있다.

î, ĵ, k̂ 도 미분의 대상이 된다.

가속도는 다음과 같이 나누어 살피기도 한다. ${\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {a_{t}}}+{\overrightarrow {a_{r}}}$

포물선 운동

연구의 기원은 탄도학. 갈릴레이의 연구를 기반으로 한다. -> 포물선운동으로부터 힘의 방향에 대한 의문이 태동했을듯.

연직방향의 식과 수평방향의 식. 시간에 대한 2개의 식이 얻어졌고, 변수는 3개이기 때문에 하나의 변수는 지울 수 있다. 보통 t를 지워 경로방정식을 얻는다.

개념	설명
수평도달거리	$R={\tfrac {v_{0}^{2}\sin 2\theta }{g}}$ -> 가장 멀리 날릴 수 있는 각도는??
최고점에 이르는 시간	$R={\tfrac {v_{0}\sin \theta }{g}}$

등속원운동

물체의 운동방향과 동일한 방향의 힘은 물체를 가속시킨다. 그렇다면 수직방향의 힘은...?

전개질문

1. 가속도는 수직성분과 수평성분으로 나누어 살피기도 하는데, 왜 이렇게 나누어 사용할까? 이렇게 나누어 생각하면 얻어지는 이점은?(예시 1개 써 보자.)

도착질문

1. 운동방향과 일치하게 작용하는 힘이 있는가 하면 운동방향에 수직하게 작용하는 힘도 있다. 이 둘은 각각 운동에서 어떤 역할을 할까?

	아이들이 만듦
	1. 레이저에 수직한 경로로 레이저를 쏘았을 때 바뀌는 것은 무엇인가 2. 위의 답을 물체의 운동방향의 수직한 힘을 가할 때와 비교하여 공통점과 차이점을 서술하시오

학생들의 질문

분류하지 않은 질문

분류	질문	대답
	벡터와 스칼라의 차이가 무엇입니까!	벡터는 방향성이 있는 것, 스칼라는 방향성이 없이 크기만 있는 것. 벡터의 예) 힘, 무게, 전류, 스칼라 예) 질량, 온도, 에너지, 전압, 압력,
	벡터와 스칼라를 연산할 수 있나요?	네, 벡터 덧셈이 성립하잖아요? 때문에 스칼라 연산이 가능합니다. 단순히 성분들을 스칼라배 하면 되요.
개념	포물선 운동을 할 때 최고점을 지날 때, 중력가속도의 방향을 최고점을 지나는 시점을 기준으로 부호를 바꿔줘야 하나요..?	아뇨, 처음에 정한 방향이 끝까지 일정해야 하는데?? 윗쪽방향을 -로 잡았다면 중력가속도의 방향은 끝까지 +방향이 되겠죠. 최고점은 가장 값이 작은 지점이 될 것이고.
	원운동 중 속도를 변화시키는 힘이 구심력보다 더 커지게 되면 물체는 어떠한 궤적으로 운동하게 되나요?	원운동 중 속도를 변화시키는 힘이 조금이라도 있다면....(더 큰 것, 작은 것과 상관 없이.) 나선! (등속 원운동에선 속도를 변화시키는 힘이 없으니까요.)
	i, j, k의 연산을 알려주세요 ex) i x j or j x i	i x j = k, j x i = -k 입니당.
	외적과 내적을 쓸때 기호가 점하고 엑스인데 그렇게 정한 이유가 무엇인가요.	ㅜ.ㅜ... 그건 기호학을 봐야 할텐데.. 수학선생님도 모르시더라구요; 알아오면 세특.
	스칼라 곱이 벡터의 내적이고 벡터곱이 벡터의 외적인가요? 증명과정이 이해하기가 어려웠는데 참고할 만한 책이 있을까요?	네. 혹시 제 pdf 파일로 봐도 어려웠나요;;;? 증명과정은... 수리물리 책에도 있긴 할거에요.
	외적을 나타내는 방법이 (AyBz-AzBy)i+(AzBx-AxBz)j+(AxBy-AyBx)k와 |A||B|sino 두 가지가 있는데 그러면 이 값이 같은지, 그리고 어떻게 같은지 궁금합니다.	두 값은 같구요, 증명은 혹시 제 pdf 파일로 봐도 어려웠나요;;;?
	외적으로 정의한 물리량이 있는데 왜 외적으로 정의를 한 건 가요	처음부터 외적으로 정의한 게 아니고, 물리에 대해 연구하다 보니, 거기에 걸맞는 표현방식이 마침 수학에 있어서 가져다 쓴...느낌이 강하죠. 초끈이론이 만들어질 당시... 물리학자와 수학자가 논의하다가... 물리학자가 하는 말을 듣곤, 수학자가 '어? 이거 끈방정식이랑 똑같이 생겼는데?' 라는 느낌으로.
	Vcos세타를 적분하면 왜 x에 관한 식이 나오나요?	속도를 적분하면 변위가 나와서요;
	벡터의 연산(이라고 하는진 모르겠습니다)이 내적과 외적 단 두개 뿐인가요?? 더 존재하지는 않는지, 존재하지 않는다면 왜 2개면 충분한지? 벡터는 내적과 외적처럼 다른 분야에서는 볼 수 없는 계산 방식을 사용하는데, 내적과 외적 말고도 벡터만의 특이하거나 신기한 계산 방식이 있는지 궁금합니다.	연산자는 만들고자 한다면 필요에 따라 무수히 만들 수 있겠죠. 만약 교과서에서 다루지 않은 내용에 대해 조사해 알려준다면 세특 써드림. 이렇게 2개가 만들어진 이유는... 4원수의 곱셈에 대한 연구에서 나온거에요. 2개의 특이한 항이 있어서 이에 대한 의미를 찾다가.
	벡터의 내적이나 외적이 선형대수학에서 많이 봤는데 물리와 선형대수학의 접점이 많나요(물리에 선형대수학이 많이 쓰이나요)?	무지 많습니다. 양자역학에선 행렬이 엄청 많아요. 물체의 회전에서도 행렬으로 표현하구요.
	사람들이 백터와 스칼라에 대하여 처음 생각하고 정의한 것은 무엇을 위하여 였나요?	헤밀턴이 만든 4원수의 곱셈에 대해 다루다가 요상한 형태의 항 a_xb_x + a_yb_y 처럼 내적의 성분, 외적의 성분항을 발견했는데, 이에 대한 의미를 찾다가 내적과 외적이 만들어졌어요. 그리고 마침 이게 물리적인 현상을 잘 설명해줘서 물리 안에 받아들여졌구요.
	우리는 3차원까지만 볼 수 있는데, 그렇다면 한 벡터를 표현하는 데에 성분 벡터는 3개까지만 사용할 수 있나요? 만약 더 사용이 가능하다면 어떻게 바라봐야 하고 이해해야 하나요?	필요에 따라 더 늘릴 수 있습니다. (x, y, z, t) 처럼 시간축에 대한 정보를 더한다든가, 우리가 인지하지 못할 뿐, 우리가 살아가는 차원은 더 깊으니까요.
	4차원이라는 표현을 쓰는 경우가 많이 있는데 그것의 의미가 어떻든 4차원 혹은 고차원을 표현하는 벡터는 어떻게 표현하고 있다면 어떤 연산규칙이 적용되나요?	또 다른 허수를 도입해서 표현하면 됩니다. 연산규칙은 벡터공간 안에 있다면 2, 3차원 벡터를 다루는 것과 동일합니다.
	22쪽 1번을 풀어보았는데 수식적으로 해결하지 않고 어떤 벡터가 다른 좌표계로 변하더라고 벡터의 끝이 특정 원의 둘레에 위치한다는 점에 입각하여 2차원 극좌표와 덧셈정리를 이용해 스칼라곱이 같다는 것을 증명하였다. 하지만 진모씨한테 물어보니 3차원에서는 구면극좌표를 써야 한다고 들었는데 구면극좌표가 뭔지 모르겠고 너무 복잡해서 어떻게 증명해야 할지 모르겠다. 그러나 굳이 3차원까지 해야 하나? 2차원에서의 스칼라곱이랑 남겨진 다른 하나의 벡터랑의 스칼라곱도 같다고 증명하면 그냥 내가 한 2차원에서의 증명이 끝 아닌가?	??
	벡터의 개념은 알지만 문제를 마주했을때 저게 뭔말인가 싶습니다	차차 적응될 거에요... 파이팅;
	운동에너지를 가지고 움직이지 않을 수 있나요? 간단히 말하자면 멈춰있는 총알이 가능한가요?	굳이 말하자면 총알을 이루고 있는 입자들이 운동하고 있기 때문에 운동에너지가 있는데 정지한 상태라 볼 수 있겠죠.
	외적에서 그니까 회전에서 생기는 방향은 무슨 의미가 있는 것인가요, 그쪽 방향으로 힘이 작용 한다던지 뭐 그런 게 있는 건가요 아니면 그냥 상징? 비슷한 건가요?	회전의 방향을 알려주죠. 단순히 말하면 반시계인가, 시계방향인가.
	벡터를 세 개 곱할 때 두 개를 먼저 곱하고 다른 하나를 곱해서 행렬식을 사용하는 것이 아니라 세개를 한번에 행렬식으로 계산할 수는 없나요?	신박하네. 성분들 살펴서 행렬식으로 표현해 보면 알지 않을까? 3중곱이라는 개념이 있는데 여기에 대해 공부해서 알려주면 세특 써드림.
	거인이 움직일 때 느리게 보이는 이유는....?	실제 속도가 빠르더라도 거리가 멀리 때문에 시각이 크게 바뀌지 않아서요. 비행기는 느리게 가는 것처럼 보이잖아요?? 쓰나미도 멀리 있는 것처럼 관망하다가 한번에 덮치는 것처럼.
	저희보다 훨씬 작은 전자나 원자들은 우리와는 다르게 양자역학을 따른다고 들었습니다. 그렇다면 저희보다 훨씬 큰 거인들이 존재한다고 가정할 때, 그 거인들이 우리를 보면 우리가 양자역학을 따르는 것 처럼 보일까요? 아니면 거인들이 따르는 또다른 역학이 존재하나요?	아뇨. 양자역학은 절대적인 크기와만 관련이 있죠. 관찰 대상자에 따라 다르게 보인다는 건 이상하구요. 키가 큰 사람이라고 다른 시간을 사는 건 아니잖아요? 앗;; 혹시 차별주의자..?
	aㆍb x c 와 같이 내적 외적이 혼합된 계산은 어떻게 하나요.	삼중곱이라는 개념이 있어요. 혼자 탐구....하시길. ㅎㅎ 제 PDF에도 있을거에요.
	물리를 공부할때 공식이 잘 기억이 안나는데 따로 암기를 하는게 좋을까요? 아니면 문제르루다양하개 풀어보면서 익혀가는게 좋을까요? 또 물리는 개념공부보다 문제풀이가 중요하다고 생각하시나요?	기본적으로 암기 후에 센스가 길러져야 한다고 생각합니다. 물리는... 문제풀이가 더 중요하다고 생각해요.
	외적과 내적은 식을 풀었을 때, 식의 모양이 외적과 내적이 같을 때 이를 외적과 내적을 사용하는데, 이렇게 외적과 내적으로 나타내는 것이 어떠한 의미를 가지나요?	내적은 일과 에너지를 구할 때, 외적은 회적력을 구할 때 사용되는 기초도구입니다.
	전류는 벡터인가요?	방향성과 크기가 있으니 벡터라고 할 수 있죠.
	원운동은 운동 방향과 힘이 수직한데 등가속 원운동에서 일은 존재하지 않나요?	네. 일은 존재하지 않습니다. 물체의 운동에너지를 바꾸지 못하잖아요?
	a벡터를 (x,y,z)라고 하면, 1/(a벡터) 는 어떻게 정의되나요? 역수라는 개념 자체가 스칼라에 한정되어 정의된 것이라서 벡터의 역수라는 개념 자체를 정의할 수 없을까요?	선생님 PDF 파일에 거기에 대해 다루고 있긴 해요. 벡터 곱셈의 역원은 다룰 수가 없죠;;
	압력은 단위 면적 당 힘이라는 정의를 가지고 있는데, 왜 스칼라 양인가요? 찾아봤는데 너무 어려운 내용이라서요.	단위면적당 힘. F=PA 형태죠?? 면적에 방향성이 있기 때문이죠! 그리고 압력은 해당 '점'에 대한 정보잖아요?
	스칼라 곱에서 두 벡터의 x성분, y성분, z성분이 반대면 곱했을 때 무조건 음수의 값이 나올텐데 그러면 좌표계를 바꾸었을 때에도 그 각 성분의 곱이 같아지면 결론적으로 다른 좌표계에서 같은 곱이 나온 것인데 같다고 볼 수 있나요?(그냥 정의가 그런 건가요)	좌표계를 바꾼다 하더라도 두 벡터는 여전히 서로 다른 방향을 보고 있겠죠.
	원운동을 하는 물체가 직선적인 가속운동도 하고있다면 물체의 가속도를 표현할 때에 어떻게 표현하나요? 구심가속도와 다른 가속도는 한번에 표현할 수 있나요?	두 가속도의 방향이 수직이기때문에 피타고라스의 원리로 합쳐진 가속도의 크기를 구할 수 있어요!
호기심	델타를 대문자와 소문자로 나눠서 사용하는 이유가 무엇인가요?	보통 대문자는 일반적인 변화량을 의미하고, 소문자 델타는 극소 변화량을 의미하죠.
기타	피카츄가 아이언테일을 쓸 때 꼬리가 단단해지는 것은 어떠한 원리이고 돌면서 아이언테일을 쓰는데 이러면 무게중심이 변하나요?	가설 1. 꼬리가 금속으로 되어있다. 꼬리에 전류를 흘려 반응성을 높여서...? 알루미늄 같은 소재는 산화하면 더 단단해지나? 가설 2. 전류가 흐르면 물체의 성질이 변하는 것...? 전류가 흐르면 단단해지는 물체가 있을 듯한데! 조사해서 알려주면 세특. 물체가 회전한다고 해서 무게중심이 변하는 게 아니라, 질량배치가 달라지기 때문에 변합니다. => 변하죠. 왜? 꼬리를 펴니까. 명준이의 가설 3. 피가 쏠리는 거다!!! 해면체의 단단해지기..
	단 1명만 접속할 수 있는 링크를 생성하는 방법이 무었인지 궁금합니다.	로그인 말고...는 모르겠네;
헛소리

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답

벡터는 (값, 값2, 값3) 형태로 쓸 수도 있는데 왜 굳이 î, ĵ, k̂ 같은 문자를 사용할까?
답변	선생님코멘트
물리는 전세계 공통의 언어이기 때문에 직관적으로 보기 편한 표준 기호가 필요하다고 생각해서..? 전 세계적으로 기호를 통일하려고	그 표준 방법이 좌표값으로 표현되는데 왜 하필 î, ĵ, k̂를 새로이 만들어 표현했느냐를 물어본거에요~!
성분을 나누어서 보면 편하기 때문이다.	좌표계로 봐도 성분은 나누어지지 않나요? 굳이 허수를 사용하게 된 이유가 있어요 ㅎ
값의 순서로만 방향을 결정하면 햇갈릴수 있어서 단위 백터를 통해 방향성을 결정하려고	오 좋은 방법이에요.
x,y,z 좌표계를 대수로 가져올때 허수를 사용해서 좌표를 표현했는데 한계가 존재해서 i,k,j로 나타내게 되었다. 허수를 나타내는 i에서 비롯되었으며, i부터 순서대로 j, k까지 나타냄	음! 그렇다면 2차원 좌표계가 아니라 굳이 허수를 이용해 나타냈던 이유는 무엇이었을까!?
대수적으로 표현하기 위해서	근본적인 대답 감사용.
계산을 쉽게하려고	네, 계산을 쉽게..라기보단, 계산을 하기 위한 도구죠.
오일러가 그렇게 써서 대수적으로 표현하려고 복소수를 벡터로 나타내려는 것에서 유래함.	네, 2차원에서 공간을 대수적으로 다루는 걸 오일러 아저씨가 시작했죠. 좌표값이 아니라, 허수로 공간을 표현하는 이유는 좌표를 대수적으로 다루기 위해서였어요. 계산하기 편하잖아?!
간단해서 간단하게 표현하기 위해서 사용하는게 아닐까요?	(값, 값2, 값3) 요게 더 간편하지 않아요;;?
i,j,k 순서대로 가는게 아름다워요.	아멘.
가속도는 수직성분과 수평성분으로 나누어 살피기도 하는데, 왜 이렇게 나누어 사용할까? 이렇게 나누어 생각하면 얻어지는 이점은?(예시 1개 써 보자.)
답변	선생님코멘트
	접선 성분과 지름 성분으로 나누어 생각하되, 지름성분의 작용은 무시하거나, 경사면에서 중력의 영향을 살피는 등 강제력에 의한 경로운동에서 유용한 접근방식. 운동을 이루는 근본을, 최소요소를 생각하면 이들의 조합으로 운동을 표현할 수 있게 되죠. 과학은 기본적으로 무언가를 쪼개며 근본적인 것을 찾아가는 과정으로 쌓여져가는 것 같아요.
진자운동 같은 경우 성분을 나누지 않는다면 진자가 운동하는 과정을 알기 쉽지 않을 것 같다. 수직성분과 수평성분으로 나눈다면 각각의 운동을 알 수 있을 것 같다. 포물선 궤적을 구할 때 수직과 수평을 나누면 각각의 속도가 어떻게 변하는지 알기 쉽다 서로 수직인 성분은 서로에게 영향을 주지 않기 때문에 따로 계산할 수 있다. Ex 포물선 운동	그쵸, 운동을 쉽게 파악하는 도구가 되어주죠!
포물선 운동하는 물체의 가속도를 수직성분과 수평성분으로 나누어 궤적을 수식화 할 수 있다.	네, 각각의 축에 대하여 기존에 사용하던 x, y로 표현할 수 있게 됩니다.
수직 성분과 수평 성분은 서로 간섭하지 않아 나누어 살피면 계산하기 편해서. 포물선 운동도 나누어서 생각한다	훌륭훌륭~
얻고자 하는 물리량만 빠르게 얻을 수 있다. 예를 들어 최고 높이나 운동 시간을 얻고 싶을 때는 수직 성분이 유용하지만 수평이동거리를 구할 때는 수평성분이 유용하다 필요한 성분만 가져와서 보면 된다. 예를 들어서 포물선 운동을 할 때 수평방향으로는 등속 운동을 하기 때문에 수직성분을 가져와서 떨어질때 까지 걸리는 시간을 구한다던지... 원하는 방향의 정보를 얻기 위해서 입니다. 예를 들면 등가속도 원운동에서 원의 중심 방향 가속도와 접선 방향 가속도를 나눕니다.	오... 좋습니다.
운동방향과 일치하게 작용하는 힘이 있는가 하면 운동방향에 수직하게 작용하는 힘도 있다. 이 둘은 각각 운동에서 어떤 역할을 할까?
답변	선생님코멘트
운동방향과 일치하는 힘은 운동방향에서 속도 변화를 야기하고, 수직하게 작용하는 힘은 방향을 변화시킨다. 방향이 같은 힘은 원운동의 속도를 높이고, 수직인 힘은 방향을 바꿔준다 일치하는 힘은 속도를 바꾸고 수직하는 힘은 가속도 방향을 바꿔서 방향을 바꾼다	모범이네.
운동에 속력을 올리고 내리는 역할?	운동방향과 일치하게 작용하는 힘이 그 역할을 하죠.

생기부 기록 예시

	선생님코멘트
	열팽창의 예시를 찾아보라 지시했을 때 여타 학생들이 교과서에서 안내되는 예시를 답하는 반면, 독자적인 조사로 참신한 답을 찾아내는 의욕과 성실함을 갖춤.