고급물리:질량중심

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1. 역학

1. 고급물리:운동
2. 고급물리:운동 법칙
3. 고급물리:일과 에너지
4. 고급물리:퍼텐셜 에너지
5. 고급물리:에너지 보존
6. 고급물리:질량중심
7. 고급물리:충돌과 추진
8. 고급물리:회전운동과 운동법칙
9. 고급물리:행성의 운동

2. 전자기학

1. 고급물리:가우스의 법칙
2. 고급물리:전위
3. 고급물리:전기 용량
4. 고급물리:전류와 저항
5. 고급물리:키르히호프
6. 고급물리:자기장
7. 고급물리:전류가 만드는 자기장
8. 고급물리:유도

3. 광학

배우는 이유

흥미적 이유	출발질문(마지막까지 학습한 후에 대답해보세요~) 지금까진 물체를 하나의 입자처럼 다루어 왔는데, 부피를 가진 실제 세계에서도 지금까지 배운 방식을 그대로 적용할 수 있을까? 오뚝이가 넘어지지 않고 다시 서는 이유는?
직업적 이유	각종 이공계 학문의 기초. 로켓의 추진을 설명하는 간편한 도구. BMW의 승용차는 일반 승용차보다 앞의 본넷 길이가 길다. 질량중심을 운전석에 두기 위한 조치 => 과격한 코너링에도 안정적인 느낌. BMW의 철학은 펀 드라이빙. 벤츠에 비해 과격한 운전에 적합하다. 페라리의 엔진은 운전자 뒤에 달린다. 역시나 운전자 근처에.
학문적 이유	입자의 충돌을 설명하는 간편한 도구.
너희들은?	물체에 힘이 작용하는 것에 대해 더 엄밀하게 알 수 있다. 어떤 물건의 질량 중심을 알면 물건을 들 때 균형을 잘 잡을 수 있다. 그래서 배우면 좋다. 잘량 중심은 굳이 몰라도 될 것 같...다? 사실 거의 모든 과학이 대다수 영향이 적은 요인들을 무시하는 근사법을 이용해 논리를 전개하거나 계산을 하는 것 같다. 그러나 질량 중심에서 부피가 무지막지하게 큰 물체를 단순히 점 하나로 생각한다는 것은 직관적으로 이해가 잘 되지 않으며 많은 사람들이 이에 동의할 것이고, 물체를 단순한 점 하나로 표현하는 방법은 엄청난 아이디어이지만 크기가 매우 작은 물체에 한해서 쓰는 것이 좋을 것 같다. => 뉴턴의 논리가 실제 세계에서도 적용될 수 있다는 논리적 기반이 되죠.
배워야 할 것	질량중심의 개념은 무엇인가 로켓방정식, 질량이 변하는 계의 운동

학습

영상

실험	영상

수업요약

질량중심

개념	설명
질량중심	물체의 모든 질량이 모인 것처럼 보이는 한 점.
1차원에서 질량중심 찾기	입자 1이 원점에, 입자 2가 d 지점에 있다면 질량중심은 어디에 있을까? 시소와 균형의 경험으로부터... 만약 두 입자의 질량이 같다면? 두 입자의 질량비가 n:m이라면? 질량중심으로부터의 거리를 각각 $d_{1},d_{2}$라고 하면 $m_{1}d_{1}=m_{2}d_{2}$의 관계가 있을 것이다. $d_{1}+d_{2}=d$ 임을 이용하여 $d_{2}$를 소거해 정리하면 질량중심은 $d_{1}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}d$ 이다.
1차원에서의 일반화	입자 1이 항상 원점에 있는 건 아닐테니, 입자 1이 $x_{1}$에 있다고 가정하면...? $x_{com}={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$ 어디서 많이 본 형태인데... 수학에서 내분점 식과 동일한 형태이다.
3차원에서의 일반화	직선에서 내분점을 구하듯, 자연스럽게 3차원으로 확장된다. $x_{com}={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$, $y_{com}={\frac {m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$, $z_{com}={\frac {m_{1}z_{1}+m_{2}z_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$
여러 입자에 대한 일반화	다른 입자를 추가한다면..? 기준 두 입자를 하나의 입자로 취급할 수 있다. $x_{3com}={\frac {Mx_{com}+m_{3}x_{3}}{M+m_{3}}}$ $x_{3com}={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}$ n개 입자들의 질량중심은 $x_{com}={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+\cdots +m_{n}x_{n}}{m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}}}={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}$
수많은 연속 입자들에 대한 일반화	수많은 미소질량들의 질량중심. $x_{com}={\frac {\Delta m_{1}x_{1}+\Delta m_{2}x_{2}+\cdots +\Delta m_{n}x_{n}}{\Delta m_{1}+\Delta m_{2}+\cdots +\Delta m_{n}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\Delta m_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\Delta m_{i}}}$ ${\frac {\sum _{i=1}^{n}\Delta m_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\Delta m_{i}}}={\frac {\int xdm}{\int dm}}={\frac {1}{M}}\int xdm$ 이걸 적분하려면 dm과 x의 관계를 알아야 하는데, 이를 위하여 밀도가 일정하다 가정하여 다음과 같이 쓴다. ${\frac {1}{M}}\int xdm={\frac {1}{M}}\int xdV{\frac {M}{V}}$ 보통 dV는 위치변수의 영향을 받아, $A(x)dx$ 로 쓴다. $x_{com}={\frac {1}{V}}\int xA(x)dx$

질량중심과 뉴턴의 법칙

물체를 하나의 점으로 취급했을 때 뉴턴의 법칙이 그대로 적용될까??

개념	설명
관성의 법칙	두 입자가 충돌할 때 질량중심의 변화.
가속도의 법칙	질량중심 자체의 미분. 가속도의 법칙을 다루는 중에 입자 사이의 운동량 보존법칙을 얻을 수도 있다.
작용-반작용의 법칙	위 법칙의 적용으로 그대로 적용됨을 알 수 있다.

############ 2차시로 나누어 진행.

여러 강체들의 질량중심

구분	설명
이등변삼각형	모든 도형의 기초는 삼각형...
반구
반구껍질
반원고리	일반적인 순서라면 1,2,3차원 순으로 올라가는 게 맞지만.. 여긴 적분이 어려워서 뒤에 배치했다.
반원반

• 강체 안에 구멍이 나 있는 경우.

이외 삼각형 고리의 질량중심이라든가... 이런저런 게 가능하겠는걸?

전개질문

1. 각각의 회전관성을 증명하는 연습을 해보세요.(따로 검사는 안함. 설문엔 아무말이나 쓰세요.)

도착질문

1. 또 어떤 물체의 질량중심을 알아보면 좋을까??

2023 2학년 전상영의 문제.

마찰이 없는 면 위에 의자가 놓여있고, 그 위에 사람이 움직이면, 질량중심의 위치는 그대로이다. 그렇다면 현실 세계에서는 왜 몸을 앞뒤로 움직이며 앞으로 갈 수 있는걸까? 외력의 작용을 과정마다 설명하시고 이렇게 움직일 수 있는 조건에 대해 말하시오

학생들의 질문

질량중심 일반

분류	질문	대답
개념	무게중심과 질량중심의 차이는? 무게 중심과 질량 중심은 같은 건가요? 무게중심과 질량중심의 차이첨이 있나요? 아니면 그냥 똑같은가요?	무게중심은 질량중심과 유사하게 무게가 한 지점에 있는 것처럼 작용하는 점이다.(물리적으론... 알짜 토크가 0이 되는 지점) 기본적으로 질량중심과 무게중심의 위치는 동일하지만, 물체가 아주 커져서 입자마다 받는 중력가속도의 크기가 달라지면 달라질 수 있다.
	액체의 경우 질량중심이 어떻게 되나요?	중력을 버티지 못하고 질량중심이 아래로 가라앉습니다. 하지만, 액체가 흩어져도 x축 방향의 질량중심은 변하지 않습니다.
	3차원에서 질량중심은 어떻게 구하나요?	1,2차원에서와 동일합니다. z축에 대해서만 더 해주면 됨.
	원자의 질량중심 을 구한다면 불확정성의 원리에 의해 질량 중심이 확률적으로 나타나나요?	네. 명확한 지점은 고전역학에서 가능한 거니까요!
	실제세계에서는 밀도가 부분마다 모두 다르고 함수 형태로 나타내기 쉽지 않을텐데 질량중심을 수식적으로 구할 수 있나요	완벽한 삼각형을 그릴 수 없지만, 삼각형의 성질을 알면 많은 걸 할 수 있듯.. 근사적으로 알아가는 것 자체로도 가치가 있죠.
	질량중심이 도넛의 가운데 빈 공간인 경우도 있나요? 질량 중심이 물체 바깥에 있을 수 있나요?	네. 질량중심이 물체 밖에 있는 경우도 있어요!!!
	물체의 형태에 따라 질량중심이 물체 밖에 존재하기도 하는데, 그렇다면 이를 어떻게 받아들여야 할까요?	아, 어디 있는지 알지만 잡을 수 없는 것도 있구나... 하고 인지하면 될 것 같습니다 ㅎㅎ. 비록 질량중심이 물체 밖에 있긴 하지만, 물체를 기울이면 충분히 떠받칠 수 있습니다. 질량중심의 연직 연장선이 물체에 닿아있기만 하면 그 물체를 직접 떠받칠 수 있죠.

반발계수

분류	질문	대답
개념	반발계수는 왜 e인가요?	그러게요. 영어로는 coefficient of restitution인데 말이죠; 아마 뉴턴이 쓴 표기가 오늘날까지 이어진 게 아닐까 싶은데... 반발의 정도는 물체의 탄성과도 관련이 있잖아요? elasticity의 e가 아닐까요? 정확한 출처를 찾아온다면 세특 ㄱㄱ함~

분류하지 않은 질문

분류	질문	대답
개념	반구의 질량중심을 구할 때 삼중 적분을 통해서도 질량중심을 구할 수 있나요?	넹.
	구심력의 개념과 구심력의 공식은 어떠한 이유로 왜 나오게 되었는지 아시나요?? 역사적 사실에 근거해서 말씀해주실 수 있는지 궁금합니다.	운동학 PDF에 ps. 원운동 이라는 제목으로 설명되어 있어요. 하위헌스와 뉴턴이 독립적으로 발견한 관계인데, 왜 알아내려고 했는지 명확하지 않지만, 아마 하위헌스는 진자시계를 설계하는 과정에서, 뉴턴은 행성의 공전을 설명하는 과정에서 필요한 지식이었으리라 생각됩니다.
	내부에너지 부분에서 ‘에너지를 고려할 때 질량중심 자체의 운동에너지 뿐 아니라 다른 형태의 에너지가 추가로 고려되어야 함을 알 수 있다.’ 라고 하셨는데 다른 형태의 에너지가 무엇인지 궁금합니다.	일반적으로는 열에너지를 의미하죠.
	포물선 운동에서 질량 중심의 좌표의 집합은 포물선 형태의 모습일까?	네!
	질량 중심이 물체의 밖에 있는 경우가 직관적으로 이해가 잘 안됩니다ㅠ 알려주세욥!	도넛을 눕혀놨을 때 질량중심을 잡을 수 있는가...!
	물체의 운동량이 물체의 회전량(?)으로 변할 수 있나요? 변할 수 있다면 어떻게 변할까요?	물체의 운동량은 축의 위치만 알려주면 곧바로 회전운동량으로 설명할 수 있습니다.
	퍼물에서 반원의 질량중심을 구하는 문제가 있었는데, 답지에선 이중적분을 사용했지만 이 방법 말고 반원 내을 직사각형으로 채워 구분구적법으로 풀어도 문제가 없나요?	네. 결과는 같잖아요?
	울퉁불퉁한 튀김옷으로 덮여있는 맛있는 bhc 황금올리브 닭다리의 질량중심은 어떻게 구하나요?	밀도가 균일하다는 가정 아래, 3D스캐너로 스캔해서 삼각형 형태의 폴리곤의 집합으로 만든다음 컴퓨터에 계산시키는 게 가장 일반적이죠.
	탄성계수는 표면과 전체적인 말랑함(?) 중에 어느 것이 더 큰 영향을 끼치나요? 그러니까 스폰지를 얇게 씌운 철공이랑 철판을 휘어질 수 있을 정도로 얇게 씌운 스폰지공 중에 어느 것의 탄성계수가 더 큰가요 (단, 철의 탄성계수가 스폰지의 탄성계수보다 클 때)	오, 그건 해봐야겠는데요..??
	구각의 질량중심을 구할 때 굳이 선미분 하지 말고 반구 2개의 질량중심을 구해서 하면 되지 않나요?	2개의 질량중심을 구한 다음 평균을 내는 방식으로요? 결과적으로 구할 수는 있겠지만, 섬세한 증명은 아니네요;
	물체의 밀도가 일정하지 않은 경우에 질량 중심은 어떻게 구하나요?	밀도 자체를 x에 대한 함수로 두는 등의 전략으로요..!
	막대기로 물체를 칠 때, 같은 힘으로 막대기를 휘두르더라도 맞는 위치에 따라 물체를 치는 힘이 달라진다고 합니다. 이에 대한 것도 질량중심과 관련이 있을까요?	질량중심 + 회전력과 관련이 있습니다. 타격중심을 말하는 거겠군요.
	질량이 정확히 모든 부분에서 같은 물체는 왜 존재하지 않을까요????????	무슨 의미인지 모르겠어;;;;
	외력이 작용하지 않는 계에서 질량중심은 항상 일정하는 원리를 이용해 문제를 풀면 더 편리한데 어떠한 주어진 상황에서 지구계를 하나의 계로 잡아서 (이때 지구를 완벽한 구로 근사시켜서) 질량중심이 일정함을 이용해 문제를 풀어도 될까요?	낙하문제나 이런저런 문제들을 풀 수는 있겠지만........ 비효율적일거에요. 구체적으로 어떤 상황인지에 대한 설명이 더 필요할 것 같네요;
	한 물체가 몇 조각으로 나눠져서 움직일때, 원래 물체의 질량중심과 동일하다. 이때 질량중심과 조각들의 거리에는 어떤 관계가 있는지 궁금하다.	조각 하나하나와는 직접적인 연관이 없죠. 전체적인 배치와 관련이 있지.
	밀도를 나타내는 함수에 따른 질량중심의 규칙성을 일반화할 수 있나요? (일차함수 일때, 이차함수일때, 사인함수일때 등 규칙성이 있을까요)	찾아보면 좋을 것 같네요. 세특 거리네.
	질량중심은 점으로 나타낼 것인데 점은 크기를 가지지 않는다. 그렇게 되면 질량중심은 이론적으로는 존재하나 실제로는 존재하지 않는 것인가요?	신박한 접근이네. 물체의 위치는 어느 특정 점(시작점, 끝점)으로 표현하는데, 해당 지점은 크기를 가지지 않는다. 그렇다면 물체의 위치라는 것도 존재하지 않는 것이라 할 수 있겠습니다. 물리에서 사용되는 개념과 수학이 실존하는 것이냐 그렇지 않은 것이냐는 이원론, 일원론... 우리나라에선 이기이원론, 이기일원론이라는 주제로 계속해서 논박이 되어온 철학적 주제이지요. 선생님 생각엔 현상을 표현하기 위한 도구로써 받아들이면 좋지 않을까 싶어요.
	줄에 매달려 있는 나무토막에 총을 쏴서 총알이 박혀서 같이 운동하는 경우 총알의 운동에너지=총알이 박힌 나무토막의 최대 높이에서의 위치에너지로 둘 수 있나요? 안된다면 그 이유가 무엇인가요? 역학적 에너지 보존 법칙은 한 물체에 대해 성립하는 건가요??	이거 연습문제로 주지 않았니;;;? 총알이 박혔다면 완전 비탄성 충돌로, 충돌 당시 에너지를 일부 잃어버리기 때문에 그대로 사용하면 안됩니다.
	물체를 물에 넣었을 때 물 표면 위로 뜨는 정도를 보고 물체의 질량중심을 구할 수 있을까요?	어느 정도 가능할거에요. 밀도를 예상할 수는 있겠지만, 그리고 물체 자체의 질량중심이라기보단 부력중심을 알 수 있다고 말하는 게 맞지 않을지...
	4차원에서의 질량중심도 정의 되나요?	어;;;; 생각 못해봤어요;;; 조사해 오면 세특.
	특정한 모양, 모형이 정해지지 않은 물체의 질량중심을 구하는 방법이 있나요?	일단 저는 모릅니다;;; 조사해 오면 세특.
	질량중심 구할때 분모에 인테그랄로 질량을 표현하는 것이 아니라 그냥 1/M로 표현하면 안되나요?	상관 없어요. 그냥 분자에서 나오는 상수들을 지워버리기 위해서.
	물리학에서 한 점의 밀도는 무한이라고 하셨는데, 부피가 0이어서 그렇다고 이해했습니다. 그런데 사실상 질량도 0이라고 봐야 되지 않나요?	상황에 따라 다르리라 생각됩니다. 어떤 질점의 질량이 주어진 상황에선 밀도가 무한, 어떤 물체를 이루는 입자의 입장에선 질량이 dm. 거의 0이라 봐야죠.
	우주도 우주 전체의 질량 중심을 유지하며 팽창하나요	우주는 공간 자체가 팽창하는 것이기에, 질량중심을 말하긴 어려울 듯해요;
	2중 적분과 3중 적분의 엄밀한 정의가 어떻게 되나요? 그리고 예를 들어 dV = dx dy dz라고 해서 ∫dV=∫∫∫dxdydz로 쓸 수 있는 이유를 설명해주세요	dV가 dx,dy,dz로 이루어졌기 때문이죠. 그 내부의 구성성분이기 때문에 ∫dV를 ∫∫∫dxdydz 형태로 바꿀 수 있습니다.
	물체가 터질 때 파편이 날아가고 질량중심이 가만히 있다고 하셨던 것 같은데 자세한 과정을 알려주실 수 있나요?	운동량이 보존되잖아요? 운동량 변화 자체는 0일거에요. 질량중심의 운동량은 모든 입자의 운동량을 합친 것인데, 그 변화가 0이니, 질량중심의 운동량 또한 변하지 않습니다.
	물체의 어느 부분을 지워도 질량중심이 유지되려면 어떻게 해야하나요?	지워진 부분의 질량중심이 기존 질량중심과 같아야 하죠.
	질량중심은 한 물체에 대해 항상 하나인가요?	애시당초 한 점을 가정하고 접근한 개념이라...
	실제로 물체는 질량중심에서 물체랑 상호작용하지 않고 그 물체의 면에서 상호작용이 이루어진다. 그럼에도 불구하고 질량중심을 이용하여 물체의 운동을 기술할수 있을까?	마찰이 없다면 수직항력의 영향만 받지만, 충분한 마찰이 주어진다면 하나의 입자처럼 다루어도 크게 문제 X. ex) 당구공.
	행성들의 질량중심은 어떻게 될까? 자전과 공전, 다른 행성들과의 만유인력에 의해 질량중심이 변할까?	변하지 않습니다. 그게 재미있는 부분이지.
	질량 중심으로 무슨 문제들을 풀 수 있을까요. 질량 중심을 구하는게 아니라 구한 질량중심을 통해 무슨 문제들을 해결 할 수 있나요	추후에 회전이 가미되었을 때 그 진가가 드러나리라 생각합니다.
	로켓에서 연료를 뒤로 힘을 주어 배출시키는 것이 아니라 그냥 떨어뜨려도 속도가 빨라지나요? 그러니까 자동차를 타고 가다가 사람이 뛰어내리면 자동차는 빨라지나요? 운동량이 보존되어야하니까? 또 로켓방정식을 운동량 보존이 아니라 작용반작용으로 해석해도 되나요?	그냥 떨어뜨리면... 빨라지지 않죠;;; v_rel이 0인 상황이잖아요;;;?
	진동도 시험범위 맞나요??	ㄴㄴ.. 용수철과 원운동의 관계에서 얻은 공식 정도만 알면 좋겠습니다.
	책상?에 사슬같은 연속체가 걸쳐져서 떨어지고 있으면 질량중심으로 퍼텐셜 에너지 변화량, 어떤 지점에서의 속도, 모두 추락했을 때 바닥에 한 일 등을 어떻게 계산해야 하나요?
	물리는 어떤 세계인가요. 순수물리도 깊이 있지만 공학(응용)물리도 장난아닐것 같은데	배워야 할 게 정말 많은 세계겠지요.
	태양을 일정한 속도의 원 궤도로 공전하는 지구가 있다고 가정합니다. 태양과 지구를 하나의 계로 취급한다면 지구가 공전하는 원인은 계의 내부에 있고 계에 외력이 (유의미할 정도로)작용하지 않으므로 질량 중심이 변하면 안되는데 태양이 가만히 있고 지구가 돌고 있다고 생각하면 질량 중심은 지속적으로 변합니다. 이런 상황은 모든 다른 요인을 포함하여 생각하면 질량 중심이 안변하는게 맞는 건지, 그냥 모순이 발생하는 건지, 아니면 애초에 지구와 태양을 하나의 계로 생각할 수가 없는 건지 궁금합니다.	태양이 가만히 있다고 생각하는 게 오류입니다. 태양도 지구의 인력에 끌려 공전을 합니다. 질량중심이 태양 중심에 위치하는 게 아니라, 태양과 지구 사이 어느 지점에 위치하는데, 태양 또한 이 질량중심을 축으로 공전합니다.
	규차적인 모양이 아닌 물체의 질량중심은 구하지 못하나요?	규칙적이지 않더라도, 함수로 표현할 수 있는 것이라면 무엇이든 구할 수 있죠. 최근엔 컴퓨터가 있으니 굳이 손으로 계산하지 않더라도, 공학적인 방법을 통해 연산할 수도 있고, 직접 찾아낼 수도 있고!
	질량중심에 대해 물체의 상태가 변하지 않으면 물체 내에서 운동을 한 에너지는 어디로 가는거죠	??? 질량중심 자체의 에너지는 변하지 않지만, 내부에너지가 줄어드는거죠.
	이원준의 문제. 어떤 두 동일한 1kg 수레가 있다. 두 수레에 동일하게 5N의 힘을 3초간 가했더니 두 물체의 속도가 하나는 15m/s, 하나는 20m/s가 되었다. 이것이 어떻게 가능한가?(힘의 방향은 같았고 두 수레 모두 동일한 실험실에서 힘을 가했다.) 답: 초기속도가 달랐기 떄문.
	김대현 문제. 거꾸로 세워진 물이 가득찬 원뿔형 물통의 꼭짓점에서 물이 일정한 속도로 빠져나갈때 질량중심은 어떻게 변화하는가?
	진명준 문제. 좌표평면에서 면밀도가 d(x)=x^2+3x+3인 가로변의 길이가 a, 세로변의 길이가 b 직사각형 형태의 물체가 있다면 이 물체의 질량중심의 좌표를 나타내시오.
호기심	관성력이 실제 현상을 설명하기 위해 도입한 가상의 힘으로 알고 있는데 가상의 힘으로 그 현상을 설명하면 그 현상이 설명되었다고 말할 수 없는 것 아닌가요?	물체의 낙하를 설명하기 위해 '중력'을 도입하였는데, 가상적인 중력의 힘으로 설명하면 그 현상이 설명되었다고 말할 수 없는 것 아닌가요? 어떻게 보면 중력도, 전자기력도 가상의 힘이죠. 왜 있는지 설명하지 못하니까요. 그저 질량, 전하가 있을 때 그 힘이 발생한다는 것을 알 뿐이지. 마찬가지로 계가 가속을 할 때 관성력이 발생한다고 이해하면.... 좋겠지만, 관성을 받아들이기는 쉽지 않죠. 관성력을 이해하기 위해선 다양한 상황에 대해서 고민을 해봐야 할거에요. 제가 이런 고민을 체계적으로 해결해주진 못한 것 같네요;; 고민해봐야겠어요.
기타
헛소리	물리학vs인간관계 뭐가 더 어려운가요? 그 이유는?	그건 성향에 따라 다른 걸로...
	당신은 구리와 텔루륨으로 만들어진게 틀림없습니다 CuTe하니까요	와우;
	질량을 무게 중심에 가깝게 할수록 회전 속도가 빨라지기 때문에, 몸을 땅에 눕게 하면 지구의 자전 속도가 빨라져서 하루가 짧아짐 주말에 하루종일 누워 있으면 시간이 빨리가는 이유가 이거다!	회전관성과 연관이 있는 이야기겠네요;
	비탄성과 탄성이라는 것이 찌그러진 후 다시 모양을 원상복구하는 과정에서 반대로 힘이 그대로 작용해서 완전한 탄성충돌이라는 것인가요?	뭔말이야;
	’내 아버지의 일이야‘ 를 다른 말로? - 내부 에너지야	당신을 김한을2로 임명합니다.
	쌤처럼 코딩잘할라면 뭘 해야하나요!!!	나보다 잘하는 사람 많잖아;;;;

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교과 내용이 너무 쉬워서 더 공부하고 싶은 사람들은 보세요~

보기 전에 먼저 생각해보세요~

수업 후, 흥미로운 것

시간이 남을 때에만 보세요~

여자는 되고, 남자는 안되는 자세.

답

지금까진 물체를 하나의 입자처럼 다루어 왔는데, 부피를 가진 실제 세계에서도 지금까지 배운 방식을 그대로 적용할 수 있을까?
답변	선생님코멘트
아니요, 입자세계에서는 밀도를 고려하지 않고 계산하였지만, 실제 세께는 밀도를 고려해야해서 약간의 변형이 필요하다고 생각합니다 아니요. 왜냐하면 부피를 가지는 물체에는 물체의 걱 부피마다 공기저항 등 다양한 힘들이 작용하기 때문이다.	앗; 그;; 그렇긴 하죠;;; 밀도도 고려해야 합니다;; 굉장히 복잡해서.. 대충 무시하면서 다루긴 하지만;;
아니요. 밀도가 균일하지 않습니다. 안될 것 이다. 질량 분포가 고르지 않기 때문이다. 밀도에 따라 다르게 계산해야 할 것이다. 밀도가 일정하다는 가정이 있다면 질량중심을 구해 적용할 수 있을 것 같다.	핵심은 할 수 있느냐 아니냐의 여부인데, 균일하지 않은 밀도를 위치에 대한 함수로 표현할 수 있다면 계산에 무리는 없을듯!!
안될듯	;;; 왜....? 이러면... 시험이었다면 나가리지..
질량중심을 잘 따지고 물체가 변하거나 부서지지 않게 하면 된다 고려해줘야 하지만 질량 중심에서의 하나의 입자로 생각하면 대강 비슷하게 다룰 수 있지 않을까요? 시그마를 이용 못 하므로 적분해주자	네. 논리적인, 수학적인 모델을 현실세계에 적용하기 위한 논의죠.
질.량.중.심. 우리가 질점으로 다뤄왔던 공식들이, 질량중심에도 똑같이 적용된다는 것을 하나씩 증명해나가면 마음편히 쓸 수 있지 않을까요. 우리가 했었던 운동량 보존이나 뉴턴의 운동법칙같은것. 질량중심 개념을 이용하여 부피를 가진 물체에도 질량중심을 구하여 하나의 입자처럼 다루는 것을 적용할 수 있을것이다. 된다, 밀도를 구하고 균일하다면 질량중심을 구하면 되고 회전을 한다면 힘을 계산해서 부가적인 것을 처리하면 될것 같다. 맞다고 생각한다 물체를 하나의 입자처럼 생각한다는 것은 물체의 모든 잘량이 한 점에 있다고 생각하는것이다 이는 실제 세계에서 모든 질량의 합을 나타낼 수 있는 점인 질량 중심이라는 개념을 이용하면 나타낼 수 있을 것 같다고 생각한다 모든 질량이 한 점에 모여있는 것처럼 보이는 점인 질량 중심을 구한다면 그 질량 중심을 하나의 입자로 똑같이 적용할 수 있다.	네, 그래서 여러 입자가 뭉쳐있을 때 뉴턴의 법칙들이 그대로 성립하는지 살펴봤잖아요?
적용할 수는 있되 고려할 내용이 더 증가할 것이다. 부피,질량중심의 위치, 회전관성 등을 고려해야한다. 토크와 같은 다양한 변수가 존재하기 때문에 불가능하다. 아니요. 질량중심을 따로 계산하고 힘이 질량중심에 작용한다는 가정이 필요, 토크도 고려해야하겠죠.	네, 이런 것들도 추가적으로 고려해주어야 할 요소이긴 하지만, 그걸 고려하거나 그걸 고려하지 않아도 되는 상황(힘의 연장선이 질량중심을 통과하는 상황)이라면 그대로 사용할 수 있지 않을까요?
또 어떤 물체의 질량중심을 알아보면 좋을까??(이 설문과 별개로, 나중에 증명해서 와보세요~ 세특에 써줌.)
답변	선생님코멘트
자신 조성하의 질량중심 이신후 내 몸의 질량중심은 어디일까? 몸의 구조가 복잡하고, 신체 내부의 구성요소에 따라 질량 혹은 밀도의 분포 또한 다르다. 내 몸의 질량중심은 어딜까용~?	사람에 대한 질량중심은 예로부터 관심주제였던 것 같아요. 기억에 남는 시도 중 하나로... 사람을 각 파트별로 분할해서...........질량중심을 구해보지만.... 사람마다 팔의 밀도라든가, 뼈의 밀도가 약간씩 달라서 질량중심의 위치에 개인차가 있긴 합니다. 예훈이가 남자이지만, 여자만 할 수 있다고 알려진 자세를 손쉽게 취할 수 있는 것처럼.
볼펜	오. 볼펜 광고할 때 질량중심 이야기하는 회사도 있음!
우주의 질량중심을 구하면 재미있지 않을까요	오... 그곳이 아마 빅뱅이 일어난 곳이겠지요...! 어떻게 구할 수 있을까!?
비행기의 질량중심
피카츄(사진을 가져와서 2차원에 밀도가 균일하다면 가능할지도?) 고양이의 모습을 단순화 하여 질량중심을 구해보자
사분원	괜찮은데!?
사람이 살이찌거나 빠질 때 몸의 질량 중심의 변화? 어떠한 방식으로 어디에 살이쪘는지에 따라 달라지지 않을까요	오... 생물 R&E나 탐구논총으로 괜찮은 주제겠네요!
로켓이나 비행기처럼 연료감소로 무게중심이 변화하는 물체. 실제 설계에도 중요할듯. mig21은 연료통 설계를 잘못해서 연료를 모두 소비하면 굉장히 불안정해서 연료를 다 쓰지 않고 남겨놔야 했다네요.	오.. 이런 건 어디에서 아는거얔ㅋㅋㅋ
한 변은 곡선(포물선)이고 한 변은 직선으로 둘러싸인 물체. (U모양 위에 _가 덮여져 있는 모양?)
태양계의 질량중심(태양,행성,위성만)
고깔 모양(바닥 뚫린 원뿔) 물방울 모양 물체의 질량중심 점점 좁아지는 원기둥 코카콜라 유리병 모양의 물체. y축 방향 모양에 규칙성이 없기 때문에 까다로울 것 같다. 자연 상태의 나무. x, y 축 어떤 방향도 대칭인 게 없기 때문에 둘 다 계산해야 해서 까다로울 것 같다. 장반지름(단반지름)에 따라 절반 자른 타원을 단반지름(장반지름)을 축으로 한 바퀴 돌린 회전체의 장반지름과 단반지름에 따른 질량중심 퍼펙트 물리에서 선밀도가 함수의 조건으로 주어진 선의 질량중심을 구하는 문제가 있었는데 이를 도형, 부피에 적용하여 구해보면 재미있을것 같습니다. 프링글스(쌍곡포물면) 야구배트처럼 무게가 모든 점에서 일정하지 않은 기다란 물체의 질량중심을 구해보는것도 재밌을것 같습니다!	좋은 주제인 듯합니다!
동물의 질량중심 알아보면 재밌지 않을까요 .... 조류는 어디에 있어서 섰을때 안정성이 떨어지고 해양생물은 어디에 있어서 바다에서 가장 유라한 구조라던지 .....!!!!!!	오..!
연필이나 샤프의 질량중심을 찾는다면 인체 공학적인 디자인이 가능해질 것이다. 자동차에서 엔진이 앞에 있기도 하고 중간에 있기도 하고 뒤에 있기도 하던데 각각의 질량중심에 따라 자동차의 특성이 달라지고 쓰임이 달라진다. 각 경우에 해당하는 질량중심을 구해 볼 수 있을 것이다.	좋은 생각입니다~ 이미 많은 곳에서 질량중심을 고려하여 물체를 디자인하고 있죠!
두루마리 휴지	오... v로 굴러갈 때 시간에 따라 질량중심이 어떻게 변하는가....!!?!?
유체의 질량중심을 구할 수 있을까? 꼭 고체인 물체에서만 질량중심을 구해야 하는 것일까? 유체의 질량중심은 어떻게 구하나요?	유체의 질량중심도 구할 수 있지만, 너무 가변적이라;;;
내부의 밀도가 균질하지 않은 푸딩의 질량 중심을 알아보고 싶다 코코팜의 젤리같은 것이 중간중간에 박혀있는 푸딩
sinx.	ㅂㅈㅎ이 증명하여 가져왔음.
답변	선생님코멘트

생기부 기록 예시

	선생님코멘트
	질량 중심에 대해 배우고 교사가 소개하거나 교과서에서 소개되지 않은 아르키메데스의 방법으로 간단하게 무게 중심을 찾는 법을 제안하는 등 학업에 대한 열정으로 다양한 자료를 찾아보고 학우들에게 질문하는데 부끄러움 없이 자신의 의문을 풀기 위해 끊임없이 노력하는 모습을 보여주는 학생임.
	질량중심에 대해 배우고 sinx 그래프를 반바퀴 돌렸을 때 나오는 럭비공 형태의 물체의 질량중심을 구해보는 등...
	질량중심에 대해 배우고 '조류와 해양생물들의 질량중심을 비교하여 환경에 따라 유의미한 질량중심의 차이를 찾을 수 있지 않을지' 제시하는 등 연구 주제를 찾아내는 능력이 있음.
	질량중심에 대해 배우고 반구의 질량중심을 삼중적분으로 구해보는 등 하나의 개념을 배우면 다양한 시도를 해보는 학생임.