1. 역학

2. 전자기학

3. 광학

배우는 이유

흥미적 이유	출발질문(마지막까지 학습한 후에 대답해보세요~) 지표면에서 마찰이 없다면 내가 던진 공이 지구를 한 바퀴 돌아 나에게 오게 하려면 얼마 만큼의 빠르기로 공을 던져야 할까?
직업적 이유	인공위성을 이용한 통신, 우주연구 등의 기초지식. 같은 형태의 중심력을 받는 원자에 대한 연구 등에 대한 기초지식.
학문적 이유	행성은 왜 이런 방식으로 운동할까?
너희들은?	케플러 법칙을 역사와 함께 배우다 보면 케플러의 도전정신과 끈기에 대해 깊이 감탄하게 된다. 미래의 연구자가 될 나는 정말 진한 공감을 했는데...절대 잃지 말아야 할 마음에 대해 알 수 있게 되는 것 같다. 이번 만큼은 안배워도 될것같은.... 전 개인적으로 지구과학엔 크게 관심이 없습니다. (완전 없는건 아니고...) 근데 인공위성같은걸 궤도에 올리는건 멋진것 같아서 재밋습니다. 근데 과연 다른 친구들도 그렇게 생각할까?
배워야 할 것	여러가지 공식들을 외워야해요. 중력 = 구심력, 궤도방정식 이런거 중력의 영향을 받으며 살기 때문에 안해도 돼요, 쓸데가 없을 듯? => 인생에 있어서 도대체 쓸모가 있는 건 무엇일까... 인생이란 참 어려워. 항공우주, 인공위성 분야에서 중요하게 쓰이기 때문

도입

학습

영상

수업	영상

수업요약

케플러 법칙

16세기 코페르니쿠스가 금성 모양변화와 연주시차에 의문을 느껴 지동설을 주장하였으나, 당시엔 받아들여지지 않음.

티코 브라헤는 철학적 공론보다 데이터로부터 새로운 이론이 나오리란 기대로 자료를 모으기 시작. 그가 죽은 후 케플러가 이어받음.(1601년)

개념	설명	역사
타원궤도법칙 1609년	태양을 중심으로 원궤도가 아닌 타원궤도로 공전한다.	모든 궤도가 원궤도라 생각하고 접근하였으나, 스승의 관측데이터와 아주 약간의 오차. 5년에 걸친 지루한 계산을 통해 행성궤도가 타원형이라는 것을 밝혀냄.
등면적법칙 1609년	태양과 행성을 연결하는 선분은 같은 시간동안 같은 면적을 쓸고 지나간다.	당시에도 궤도운동 속도가 일정치 않다는 것은 알려져 있었음. 아마 시간에 따라 대략적으로 $A={\frac {1}{2}}rl$ 이 일정함을 통해 알아낸 듯하다.
조화법칙 1618년	$T^{2}\propto r^{3}$	행성의 궤도반지름과 공전주기 사이에도 수학적 관계가 있다는 믿음 아래 끈질기게 매달리다가.. 멋진 아이디어가 떠올랐다며 $\log$ (공전주기) = ${\frac {2}{3}}\log$ (긴반지름) 의 관계를 발견하였다.

ps. 그냥 사실.

로그는 네이피어가 그 기초를 쌓았다고 알려져 있는데, 네이피어가 그 연구를 시작한 것은 '티코 브라헤가 큰 수의 곱과 나눗셈을 삼각함수의 가법정리를 이용해 덧셈이나 뺄셈으로 계산하고 있는 것 같다'는 소문을 들은 이후라 전해진다.^[1]

케플러 법칙의 증명

뉴턴이 증명해 내면서 만유인력을 확립했는데, 증명은 반대 순으로 일어났다.

개념	설명
조화법칙	만유인력이 구심력 역할을 한다. $G{\frac {Mm}{r^{2}}}=m\omega ^{2}r$ $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ 이므로 $G{\frac {Mm}{r^{2}}}=m({\frac {2\pi }{T}})^{2}r$ 주기와 공전반지름의 관계를 볼 수 있게 정리하면 $T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}r^{3}$ 이다. 태양으로부터의 거리와 태양의 질량에 의존한다.
등면적법칙	$\Delta t$ 동안 휩쓸고 지나가는 면적은 $\Delta A={\frac {1}{2}}r^{2}\Delta \theta$ 이다. 일정시간동안 휩쓸고 지나가는 면적이 일정하다는 그 속도가 일정하다는 것. ${\frac {\Delta A}{\Delta t}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}={\frac {1}{2}}r^{2}\omega ={\frac {L}{2m}}$ 이라는 것. 즉, 각운동량이 일정하다는 것. 각운동량의 변화를 살펴보면 ${\frac {dL}{dt}}={\frac {d({\overrightarrow {r}}\times {\overrightarrow {p}})}{dt}}={\overrightarrow {r}}\times {\overrightarrow {F}}$ 인데, 중력의 경우, 0이 되어 등면적법칙이 증명된다.(중심력의 경우 각운동량의 변화를 만들어내지 못한다.)
타원궤도	이건... 어려워.

모든 것의 기준 장반경

실제 행성의 운동은 원이 아니라 타원인데, 지금까지 사용한 공식의 기준점은 모두 장반경 a를 토대로 살피면 된다.

개념	식
조화법칙	$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}$
역학적에너지	$E=-G{\frac {Mm}{2a}}$

전개질문

인류가 살고 있는 주변에 여러 행성이 있다면 인류가 받는 중력은 어떻게 계산할까?(행성 n의 질량은 M_n, 행성 n까지의 거리는 R_n 이라고 가정할 때.)

도착질문

인공위성이 지구로부터 탈출하는 것도 아니고, 다시 되돌아오는 것도 아니고 일정한 원궤도를 유지하기 위해선 최소 얼마 만큼의 거리에 얼마 만큼의 속도로 올려두어야 할까?(지구 반지름은 약 6400km, 외기권은 지상 600km부터로 분류되어 있는데, 외기권에선 마찰이 없다고 가정한다.)

학생들의 질문

분류하지 않은 질문

분류	질문	대답
개념	그래서 케플러 법칙이 뭐죠(보민)	????
	회전을 하다가 갑자기 왜 중력을 하고 계신건가요?(루엘)	???
	설문 맨 마지막 문재에서 인공위성이 x축으로 이동할땨 떨어지는 y량을 계산하는 방식으로 풀어주세요	이거 나중에 한 명 찍어서 시켜야겠다.
	질량이 동일한 두 행성 사이를 팔자로 공전하는 위성의 운동을 비슷한 방법으로 분석할 수 있나요?	뭐와 비슷한 방법??? 그냥 만유인력으로 하면 되지 않나?
	만유인력이 구심력 역활을 하지 않으면 어떻게 되나요?	역할을 하지 않으면 날아가겠죠?
	인공위성은 발사될때도 지구중심을 기준으로 원운동을 하나요..?? 그렇게 되면 역학적 에너지는 어떻게 표현해야하나요?? 궤도에 띄웠을 때 운동에너지가 -GMm/2R 으로 일반화시킬 수 있는 게 있었던거같은데 기억이 안나서 유도 한번만.. 해주십시오..	내가 나눠준 1번 문제와 같이! $E_{mec}=-G{\frac {Mm}{r}}+{\frac {1}{2}}mv^{2}$ 에서 원운동을 한다면 $G{\frac {Mm}{r^{2}}}=m{\frac {v^{2}}{r}}$ 니까, 운동에너지가 $G{\frac {Mm}{2r}}$ 이 됩니다. 때문에 $E_{mec}=-G{\frac {Mm}{2r}}$
	앞에 인공위성 문제에서, 지구에서 쏠 때의 속도도 구할 수 있나요? 지구반지름 R, 지구 중심부터 인공위성 거리 r이라 했을 때, 루트[(GM/r)^2-GM(1/r - 1/R)}이 맞나요..?	미안한데 나중에 찾아와주세용~
	중력이 하루를 주기로 있다 없다 하는 상상을 해봤는데 그러면 어떤 일이 일어날 수 있을까요....?	하루 없어지면 대기가 다 우주로 퍼져 다음날엔 다 죽어있을듯. 지구에 헬륨이 흔치 않은 게, 수소, 헬륨은 탈출속도를 넘어서거든요.
	중력상수 G는 어떠한 상황에서도 일정한가요?	네. 아직까지는요.
	지구는 정확히 원이 아니기에 위도에 따라 중력이 다를 것이며 지형(높이)에 따라 중력이 다를 것입니다. 그렇다면 로켓 발사대 또한 중력이 가장 낮은 곳에 위치하는 것이 유리할 터인데 실제로 그런가요??	네. 그래서 적도 부근에 발사대가 많죠. 극지방엔 전혀 없고.(부지값도 쌀텐데 말야)
	케플러의 법칙은 왜 태양계 밖의 다른 천체들의 운동도 설명할 수 있나요?	만유인력은 태양계에만 작용하는 게 아니라서?
	구각정리 처럼,, 생각을 해보면 중력을 구할때 구가 아니라면 중심사이의 거리를 사용하지 않고, 그냥 증명 과정처럼 구해서 일일이 구해야 하는 것인가요?	네, 적분 때립니다.
	면적 속도 일정 법칙을 통해 타원의 넓이를 유도할 수 있을까요.	일정 시간동안 지난 면적을 안 후에, 이를 한 바퀴 주기와 비례식을 세우면... 적분?!
	구심력은 왜 어떨땐 장력이 되고 어떨땐 중력이되나요	원운동 하게 만드는 힘이 중력일 때도 있고, 줄이나 실의 장력일 때도 있으니까.
	케플러 법칙이 실생활에서 어떻게 사용되나요?
	만유인력을 구심력으로 하여 물체가 원운동을 하는 것이 솔직히 이해가 아직 잘 되지 않았습니다....(도와주세요..!) 그리고 구심력과 만유인력의 크기가 같을 때의 속력보다 더 큰 속력을 가진 물체의 운동은 정확히 어떻게 기술해야 하는 것인지 궁금합니다(구심력이 어떻게 작용하는지, 만유인력은 어떤 역할을 하는지 등등)...!!	구심력보다 만유인력이 크면 고꾸라지고, 만유인력이 더 작으면 붙들지 못하고 날아가든가 타원궤도 운동이 되죠.
	G의 값은 어떻게 알게되었나요?	케번디시가 지구의 질량을 알기 위한 단계였죠.
	회전 운동 문제를 풀때 무조건 회전하는 축을 중심으로 봐야되나요? 질량 증심을 기준으로 봐야될지 회전축을 기준으로 봐야될지 헷갈려요	회전축이죠. 무조건. 축으로부터의 거리에 영향을 받으니까. 그런데 보통은 질량중심을 축으로 회전하니까 질량중심을 기준으로 잡아요. 질량중심이 움직인다면 질량중심의 운동도 고려해야 하고요.
	행성이 일정한 방향으로 운동하고 있다면 행성의 위치에 따라 받는 힘은 달라지나요? 만약 그렇다면 지구는 자전과 공전을 같이하고 있는데 이에 따른 체감 중력은 어떻게 되나요?	행성의 중력은... 느끼기 힘들죠. 내가 당신에게 끌리지 않는 것처럼...? ㅎ












호기심	만유인력에서 환산질량의 물리적 의미는 무엇인가요.	실제론 지구 중심을 기준으로 돌지 않아서 사용하는 개념이죠.
	케플러 법칙으로 행성 두 개서의 운동 뿐만아니라 3개 이상의 행성들의 운동도 설명할 수 있나요? 그 방법이 궁금합니다.	케플러법칙은 행성의 움직임을 표현한거지, 설명한거라 보긴 어렵지 않나요;;?
	점프를 뛰다가 밑으로 중력에 의하여 밑으로 떨어지던 상황에서 중력이 없어진다면 우리 몸은 힘을 위로 받는건가요 아래로 받는건가요 아니면 힘의 작용이 사라지는건가요.	관성만 남죠.
	면적 속도 일정의 법칙을 미분방정식과 극좌표를 이용해 증명해주세요.	그... 교육과정에 맞는 문제를 냅시다;;
	구각정리를 육면체나 다른 다면체로 확장 해주실 수 있나요?	너무 무리한 주문... 할 수는 있겠다만,
	힘을 구할 때 거리를 질량중심 사이의 거리로 할 수 있는 경우가 구 말고 무엇이 있나요? 어떤 조건이 있나요?	그건 선생님도 더 깊이 탐구해봐야 할 문제겠네요. 여러분의 세특에 기록될 만한 연구주제가 될 수도 있구요.
	탈출속력? 아까 그 인공위성 그거 할 때 원심력 = 중력 이랑 위치에너지, 운동에너지 이용하는 거랑 고민했었는데 둘이 다른 값이 나와요. 루트 2 배 차이납니다. 왜 이런가요? 인공위성이 원궤도로 돌 조건 (공 던져서 원궤도로 올라갈 조건)이랑 탈출속력이랑 다른가요?	어떤 과정을 거치셨는지 와닿지가 않네요;; 나중에 찾아와주세요;;
	탐사선을 태양계 다양한 곳에 보냈는데, 그 멀리 보내는 것을 어떻게 계산할까요. 처음부터 완벽하게 계산해서 보내는건 무리인것 같고, 스윙바이 할 때 약간의 부스터를 쓰나요	약간의 오차를 줄이기 위해선 지속적인 추진이 필요할 수밖에... 어차피 행성들의 운동은 수학적으로 계산할 수 없기 땜눈에 시뮬레이터로 계산을 할거에요~
	g값은 변하나요?	네. 변하죠.
	중력의 영향으로 시공간이 휘어 빛도 휘어서 진행한다고 들었던 것 같습니다. 그런데 만유인력으로 생각해보면 빛은 질량이 없는데 중력의 영향을 받는게 신기합니다. 혹시 조금 더 구체적으로 설명해주실 수 있나요?	ㅇㅇ 등가원리요.
	모든 행성의 중력이 모두 같아지면 어떤 현상이 나타날까요	그렇다는 건, 입자마다 작용하는 중력이 다르다는 건데, 이건 버그 아닌가;;
	중력에 따른 스포츠 경기 결과 차이가 심하게 있을까요? (ex 야구홈런)	네, 달라지겠죠 상당히
	무중력 상태에 있게 되면 심장 박동이 느려진다고 합니다. 또한 심장의 근육이 줄어든다고 하는데 그럼 심장의 근육과 심장 박동이 중력과 상관 있는건가요?	네. 양현재에 감독이 없으면 처음엔 자기 시작합니다. 나중엔 친구들과 이야기하기 시작하겠죠. 그러다가 나중에 감독이 들어와도 여전히 졸려 자겠죠.













기타

헛소리	프린트 문제 풀이해주세요…(기찬)	이건... 질문에 있을 만한 내용은 아니지 않나;;;;
	강곽 탈출속도를 구하시오
	어느날 갑자기 한 바위의 중력이 523배가 될 때 벌어질 사회적, 물리적 현상들을 종합적으로 서술하시오(명준)
건의	좀 더 개념을 이해 했는 가?에 대한 질문을 많이 만들어주셨으면 좋겠어요	음.. 고민해보자. 구체적인 걸 들고 개인적으로 찾아오면 같이 세특 써보자.
	질문or문제 내기도 자율로 하면 좋겠어요... 문제나 질문을 찾기가 너무 힘들어요...	그럼 대다수가 문제도, 질문도 내지 않을듯;;
	ksp(커벌 스페이스 프로그램)이나 Spaceflight Simulator(구글플레이에 있음. 모바일)에서 행성을 공전하는 위성의 궤도를 직관적으로 볼 수 있습니다.
	문제를 못 푼다. 나는 처음에 문제를 잘 못 풀었다. 물리를 못하는 건 내 종특이다. 난 선행을 안했다. 다른 애들이 다 아는 걸 난 모른다. 선생님이 준 문제는 다 답지를 보고 풀었고 토크 = rxF에서 다양한 식이 유도되는 걸 몰라서 너무 힘들었다. 각운동량 보존은 도대체 뭔지 감이 안 잡히고 회전관성 pdf는 일주일 넘게 잡고 있었고 병진운동에서 제대로 작동하던 직관이 여기선 자꾸 멈칫멈칫거리고...뭐 아무튼 쌤이 준 문제도 잘 못풀었는데. 그래서 너무 화가 나서 퍼펙트물리만 엄청 풀었다. 혼돈과 혼란의 연속이었다. 어디에선 R을 무시하고 풀고, 납작하다는 건 높이가 없다는 건 왜 나만 모르는 거고, 어떨 때 역학적 에너지에 회전하면서 생긴 에너지가 포함되는건지 모르겠고, 회전관성 적분은 어떤 논리로 하는 건지 알다가도 모르겠고. 등등. 그래서 이건 내가 반드시 알고 있어야 하는 유형이라고 생각하고 여러 번 풀었다. 뭐가 핵심인지, 뭐랑 뭐를 같게 두고 풀어야 하는지 이런 거 전부 습득할 수 있도록. 그렇게 어려운 문제에서도 활용할 수 있는 내 기술이 될 수 있도록. 그랬더니 좀 되더라. 좀 살 것 같다. 0에서부터 차근차근 쌓아가는 건 너무 고통스러운 것 같다. 그래도 여전히 잘 모르겠긴 하다. 얼마나 더 해야 하지?
	선생님 엄장필의 우주의 팽창에 관하여라는 책에 대하여 아시나요. 유사과학의 집합체인데 리뷰하시면 재밌을것 같네요 https://namu.wiki/w/%EC%9A%B0%EC%A3%BC%EC%9D%98%20%ED%8C%BD%EC%B0%BD%EC%97%90%20%EA%B4%80%ED%95%98%EC%97%AC

더 나아가기

교과 내용이 너무 쉬워서 더 공부하고 싶은 사람들은 보세요~

보기 전에 먼저 생각해보세요~

수업 후, 흥미로운 것

시간이 남을 때에만 보세요~

남녀 걸음걸이의 차이. 여성은 골반의 폭이 커 다리의 회전력을 더 크게 받는다.

달리는 치타의 꼬리 움직임(회전관성 보존을 위해)

소련이 10년간 숨긴 물리현상(개드립)

답

지표면에서 마찰이 없다면 내가 던진 공이 지구를 한 바퀴 돌아 나에게 오게 하려면 얼마 만큼의 빠르기로 공을 던져야 할까?
답변	선생님코멘트
지구 탈출 속도보다 조금 느리게 지구 회전 속력보다 빠르게 던져야한다.	뭐, 틀린 말은 아닌데;;;
지구가 완전 구형이라면 아주 작은 속력으로 굴려도 다시 굴러서 돌아올 수 있겠지만 실제지형이라면 충분히 높은 곳에서 초속 9.8미터로 던지면 되는거로 알고 있습니다	초속 9.8미터라는 걸 어떻게 구할 수 있을까???
초속 5~6km 정도면 된다. 공이 던져져서 이동한 거리가 있고, 그 시간 동안 공이 연직방향으로 떨어진 거리가 있는데 그 수평 이동 높이에서 떨어진 거리가 지구가 구면이라는 성질에 의해서 처음 높이와 같아질 정도의 빠른 속도면 된다.	오호, 위랑 좀 다르네?
7.911km/s	오호, 위랑 또 다르네?
중력을 상쇄할 수 있을 만큼의 빠르기	상쇄..라기보단 극복이란 단어가 더 어울릴듯??
원운동할 속도로. GM/r^2=mv^2/r을 만족하는 속도 GMm/R² = mv²/r -> v = (GM)^½ / R^½	굳
내가 던진 공이 등속원운동을 한다고 보면, 구심력 = mv^2/R = mg = 물체의 무게로 계산할 수 있으므로 v=루트RG 이다.	R로 나누기가 되지 않나;;?
v=√(rg)	지구의 질량은 왜 빠졌지''? 민수가설. g는 표면에서의 중력가속도이다.
지구의 중력과 원심력의 크기가 같아지도록의 속도로 던진다	간단하고 훌륭한 대답이다.
mg = mrw^2 이라고 하고 구하거나 v로 움직일때 낙하한 거리와 지구의 곡률로 인한 높이 차이가 같다고 하고 계산하면 된다. 지구는 구 이므로 x성분 y성분으로 봤을때 x성분마다 떨어지는 y성분을 계산하여 지구의 곡률(?)과 같게 y성분이 떨어지는 정도의 빠르기	오, 내가 가르쳐주지 않은 표현. 좋네요.
탈출속도와 같은 속도 제 1종 탈출속도만큼 빠르게	그럼 탈출해버리지 않니;;;?? 원이랑 타원, 쌍곡선을 원뿔곡선이라 하던가...?
내가 들고 있는 공이 받고 있는 중력과 구심력의 크기가 같다고 놓았을 때의 속력,탈출속도로 던진다	맞았는데 틀린말이군.


인류가 살고 있는 주변에 여러 행성이 있다면 인류가 받는 중력은 어떻게 계산할까?(행성 n의 질량은 M_n, 행성 n 중심까지의 거리는 R_n 이라고 가정할 때.)
답변	선생님코멘트
인류가 지구 위에서 타 행성의 중력에 유의미한 영향을 받을 정도면 지구와 그 행성은 이미 서로 부딪혀서 하나의 행성을 이루었을 것	아니;; 현재 인류가 받는 중력;;
중력영향권 에 있는 행성의 중력만 생각하면 되지 않나요	음..
중력 = ∑(GM_nm / R_n²) 각 행성의 인력을 구한 후 힘의 벡터들을 합하여 구한다. 만유인력 공식으로 힘을 구한다음 이루는 각을 이용해 x,y축 성분으로 분해해서 합력을 구한다 다 계산해서 벡터합을 한다	굳.



인공위성이 지구로부터 탈출하는 것도 아니고, 다시 되돌아오는 것도 아니고 일정한 원궤도를 유지하기 위해선 최소 얼마 만큼의 거리에 얼마 만큼의 속도로 올려두어야 할까?(지구 반지름은 약 6400km, 외기권은 지상 600km부터로 분류되어 있는데, 외기권에선 마찰이 없다고 가정한다.)
답변	선생님코멘트
v = (GM)½/(R+r)½	숫자만 제대로 대입하면 끝나는군요 굿.
지표면에서 떨어진 거리를 r이라고 할때 GM/(R+r)^=v^/(R+r)에서 M과 r이 주어지면 계산할 수 있다.	굿, 원리를 잘 썼어요.
7000km 상에서 던지다면 루트 (GM/7000km)으로 던지면 된다 7000km, 루트(GM/7000)의 속도로 인공위성이 돌아야 한다. G * Mm /49000000 = m * (v 제곱) / 7000 해서 v를 구하면 루트 G*M/7000	굿.
인공위성은 최소 200~300km의 높이에서 돌 수 있으며 이때의 속도는 초속 7.5km이다.	오, 실제로는 200~300km 높이에서 도는 것도 있나봐요?? 출처를 알려줄 수 있어요?? 미세한 마찰로 인한 에너지 손상은 어떻게 처리하나요?
600km 거리에 sqrt(GM)	그 거리면 지구 내핵을 헤엄치고 있겠군요.

생기부 기록 예시

	선생님코멘트

각주

↑ 오구리 히로시(2017) .『수학의 언어로 세상을 본다면』. 바다출판사 P.93

[1] 오구리 히로시(2017) .『수학의 언어로 세상을 본다면』. 바다출판사 P.93

[1]

고급물리:행성의 운동

목차

배우는 이유

출발질문(마지막까지 학습한 후에 대답해보세요~)

도입

학습

영상