2023년 3월 12일 (일) 18:36 판

1. 역학

2. 전자기학

3. 광학

배우는 이유

흥미적 이유	출발질문(마지막까지 학습한 후에 대답해보세요~) 지금까진 물체를 하나의 입자처럼 다루어 왔는데, 부피를 가진 실제 세계에서도 지금까지 배운 방식을 그대로 적용할 수 있을까?
직업적 이유	각종 이공계 학문의 기초. 로켓의 추진을 설명하는 간편한 도구.
학문적 이유	입자의 충돌을 설명하는 간편한 도구.
너희들은?
배워야 할 것

도입

학습

영상

실험	영상

수업요약

질량중심

개념	설명
질량중심	물체의 모든 질량이 모인 것처럼 보이는 한 점.
1차원에서 질량중심 찾기	입자 1이 원점에, 입자 2가 d 지점에 있다면 질량중심은 어디에 있을까? 시소와 균형의 경험으로부터... 만약 두 입자의 질량이 같다면? 두 입자의 질량비가 n:m이라면? 질량중심으로부터의 거리를 각각 $d_{1},d_{2}$ 라고 하면 $m_{1}d_{1}=m_{2}d_{2}$ 의 관계가 있을 것이다. $d_{1}+d_{2}=d$ 임을 이용하여 $d_{2}$ 를 소거해 정리하면 질량중심은 $d_{1}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}d$ 이다.
1차원에서의 일반화	입자 1이 항상 원점에 있는 건 아닐테니, 입자 1이 $x_{1}$ 에 있다고 가정하면...? $x_{com}={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$ 어디서 많이 본 형태인데... 수학에서 내분점 식과 동일한 형태이다.
3차원에서의 일반화	직선에서 내분점을 구하듯, 자연스럽게 3차원으로 확장된다. $x_{com}={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$ , $y_{com}={\frac {m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$ , $z_{com}={\frac {m_{1}z_{1}+m_{2}z_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$
여러 입자에 대한 일반화	다른 입자를 추가한다면..? 기준 두 입자를 하나의 입자로 취급할 수 있다. $x_{3com}={\frac {Mx_{com}+m_{3}x_{3}}{M+m_{3}}}$ $x_{3com}={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}$ n개 입자들의 질량중심은 $x_{com}={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+\cdots +m_{n}x_{n}}{m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}}}={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}$
수많은 연속 입자들에 대한 일반화	수많은 미소질량들의 질량중심. $x_{com}={\frac {\Delta m_{1}x_{1}+\Delta m_{2}x_{2}+\cdots +\Delta m_{n}x_{n}}{\Delta m_{1}+\Delta m_{2}+\cdots +\Delta m_{n}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\Delta m_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\Delta m_{i}}}$ ${\frac {\sum _{i=1}^{n}\Delta m_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\Delta m_{i}}}={\frac {\int xdm}{\int dm}}={\frac {1}{M}}\int xdm$ 이걸 적분하려면 dm과 x의 관계를 알아야 하는데, 이를 위하여 밀도가 일정하다 가정하여 다음과 같이 쓴다. ${\frac {1}{M}}\int xdm={\frac {1}{M}}\int xdV{\frac {M}{V}}$ 보통 dV는 위치변수의 영향을 받아, $A(x)dx$ 로 쓴다. $x_{com}={\frac {1}{V}}\int xA(x)dx$

질량중심과 뉴턴의 법칙

물체를 하나의 점으로 취급했을 때 뉴턴의 법칙이 그대로 적용될까??

개념	설명
관성의 법칙	두 입자가 충돌할 때 질량중심의 변화.
가속도의 법칙	질량중심 자체의 미분. 가속도의 법칙을 다루는 중에 입자 사이의 운동량 보존법칙을 얻을 수도 있다.
작용-반작용의 법칙	위 법칙의 적용으로 그대로 적용됨을 알 수 있다.

############ 2차시로 나누어 진행.

여러 강체들의 질량중심

구분	설명
이등변삼각형	모든 도형의 기초는 삼각형...
반구
반구껍질
반원고리	일반적인 순서라면 1,2,3차원 순으로 올라가는 게 맞지만.. 여긴 적분이 어려워서 뒤에 배치했다.
반원반

전개질문

각각의 회전관성을 증명하는 연습을 해보세요.(따로 검사는 안함. 설문엔 아무말이나 쓰세요.)

도착질문

또 어떤 물체의 질량중심을 알아보면 좋을까??

학생들의 질문

분류하지 않은 질문

분류	질문	대답
개념






























호기심

























기타

헛소리

더 나아가기

교과 내용이 너무 쉬워서 더 공부하고 싶은 사람들은 보세요~

보기 전에 먼저 생각해보세요~

수업 후, 흥미로운 것

시간이 남을 때에만 보세요~

위치에너지의 위력. https://i.imgur.com/MvtTE8w.mp4

남자 다수가 모이면 하는 병신짓. https://www.dogdrip.net/435829635

답

기차를 타고 가다 보면 주기적으로 덜컹거리는 소리가 난다. 선로를 죽 이으면 덜컹거리는 소리 없이 달릴 수 있을텐데, 왜 선로의 일부를 띄어두었을까?
답변	선생님코멘트







온도가 높아지면 왜 물체의 부피가 커질까?
답변	선생님코멘트
	접선 성분과 지름 성분으로 나누어 생각하되, 지름성분의 작용은 무시하거나, 경사면에서 중력의 영향을 살피는 등 강제력에 의한 경로운동에서 유용한 접근방식.





열팽창(혹은 열수축)을 볼 수 있는 예시 1개. 무엇이 있을까?(위에서 소개된 것 제외)
답변	선생님코멘트

생기부 기록 예시

	선생님코멘트
	열팽창의 예시를 찾아보라 지시했을 때 여타 학생들이 교과서에서 안내되는 예시를 답하는 반면, 독자적인 조사로 참신한 답을 찾아내는 의욕과 성실함을 갖춤.

각주

@@ 58번째 줄: / 58번째 줄: @@
 시소와 균형의 경험으로부터...
-* 만약 두 입자의 질량이 같다면?
+*만약 두 입자의 질량이 같다면?
-* 두 입자의 질량비가 n:m이라면?
+*두 입자의 질량비가 n:m이라면?
 질량중심으로부터의 거리를 각각 <math>d_1, d_2</math>라고 하면 <math>m_1 d_1 =m_2 d_2</math>의 관계가 있을 것이다.
@@ 67번째 줄: / 67번째 줄: @@
 |1차원에서의 일반화
 |입자 1이 항상 원점에 있는 건 아닐테니, 입자 1이 <math>x_1</math>에 있다고 가정하면...?
 <math>x_{com} = \frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}</math> 어디서 많이 본 형태인데... 수학에서 내분점 식과 동일한 형태이다.
 |-
 |3차원에서의 일반화
-|중력 혹은 탄성력이 <math>\overrightarrow{F}</math>라고 하면, 외력이 주어질 때 중력장 혹은 용수철은 <math>dW = \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}</math> 만큼의 일을 한다고 하자.(내적하면 음수값이 나온다.)
+|직선에서 내분점을 구하듯, 자연스럽게 3차원으로 확장된다.
-- 외부에서 한 일은 <math>-dW =- \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}</math> 이고. 이 값이 해당 계에 저장된다.(위에선 일을 가하는 사람 기준, 이번엔 일을 받는 계 기준. 왜냐하면 중력과 탄성력을 기준으로 하기 위해.)
+<math>x_{com} = \frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}</math>, <math>y_{com} = \frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_1+m_2}</math>, <math>z_{com} = \frac{m_1z_1+m_2z_2}{m_1+m_2}</math>
+|-
+|여러 입자에 대한 일반화
+|다른 입자를 추가한다면..?
+기준 두 입자를 하나의 입자로 취급할 수 있다. <math>x_{3com} = \frac{Mx_{com}+m_3x_3}{M+m_3}</math>
+<math>x_{3com} = \frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}</math>
+n개 입자들의 질량중심은 <math>x_{com} = \frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}= \frac{1}{M}\sum_{i=1}^n m_i x_i</math>
+|-
+|수많은 연속 입자들에 대한 일반화
+|수많은 미소질량들의 질량중심.
+<math>x_{com} = \frac{\Delta m_1x_1+\Delta m_2x_2+\cdots+\Delta m_nx_n}{\Delta m_1+\Delta m_2+\cdots+\Delta m_n}= \frac{\sum_{i=1}^n \Delta m_i x_i}{\sum_{i=1}^n \Delta m_i}</math>
+<math>\frac{\sum_{i=1}^n \Delta m_i x_i}{\sum_{i=1}^n \Delta m_i} = \frac{\int xdm}{\int dm} = \frac{1}{M}\int xdm</math>
-- 즉, 퍼텐셜에너지의 변화량 <math>\triangle U = -W =- \int \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}</math> 의 값을 갖는다.
+이걸 적분하려면 dm과 x의 관계를 알아야 하는데, 이를 위하여 밀도가 일정하다 가정하여 다음과 같이 쓴다.
-- 반대로 <math>\triangle U</math> 를 변위에 대해 미분하여 음수를 씌우면 해당 계에서 받는 힘을 알 수 있다. <math>- \frac{dU}{dx} = F</math>
+<math>\frac{1}{M}\int xdm = \frac{1}{M}\int x dV \frac{M}{V}</math> 보통 dV는 위치변수의 영향을 받아, <math>A(x)dx</math> 로 쓴다.
+<math>x_{com} = \frac{1}{V}\int x A(x) dx</math>
 |}
-===퍼텐셜 에너지 곡선===
+===질량중심과 뉴턴의 법칙===
-[https://www.google.co.kr/search?q=%EC%9E%84%EC%9D%98%EC%9D%98+%ED%8D%BC%ED%85%90%EC%85%9C+%EC%97%90%EB%84%88%EC%A7%80+%EA%B3%A1%EC%84%A0&tbm=isch&ved=2ahUKEwj94tTAy839AhXttlYBHeNxCxcQ2-cCegQIABAA&oq=%EC%9E%84%EC%9D%98%EC%9D%98+%ED%8D%BC%ED%85%90%EC%85%9C+%EC%97%90%EB%84%88%EC%A7%80+%EA%B3%A1%EC%84%A0&gs_lcp=CgNpbWcQAzoECCMQJ1C8B1iPDGDCDWgBcAB4AYABbYgBwwiSAQM3LjSYAQCgAQGqAQtnd3Mtd2l6LWltZ8ABAQ&sclient=img&ei=GCgJZP32M-3t2roP4-OtuAE&bih=938&biw=1874#imgrc=ViDvOeMc5bu-vM 퍼텐셜 에너지 곡선 이미지 검색]
+물체를 하나의 점으로 취급했을 때 뉴턴의 법칙이 그대로 적용될까??
 {| class="wikitable"
 !개념
 !설명
 |-
-|계 내부에서 가해지는 힘
+|관성의 법칙
-|퍼텐셜에너지 곡선의 기울기의 음수값이 힘이 된다.
+|두 입자가 충돌할 때 질량중심의 변화.
 |-
-|안정 평형점
+|가속도의 법칙
-|입자가 살짝 변위되면 다시 되돌아오는 힘이 작용하는 지점.
+|질량중심 자체의 미분.
+가속도의 법칙을 다루는 중에 입자 사이의 운동량 보존법칙을 얻을 수도 있다.
 |-
-|불안정 평형점
+|작용-반작용의 법칙
-|살짝만 움직여도 균형이 깨지는 지점.
+|위 법칙의 적용으로 그대로 적용됨을 알 수 있다.
-|-
-|회귀점
-|입자의 운동방향이 바뀌는 지점.(초기 에너지에 따라 달라짐)
 |}
-===보존력과 비보존력===
+<nowiki>############</nowiki> 2차시로 나누어 진행.
-역학적 에너지가 뭔지 안다는 가정.
+=== 여러 강체들의 질량중심 ===
 {| class="wikitable"
-!개념
+!구분
 !설명
 |-
-|비보존력
+|이등변삼각형
-non-conservative force
+|모든 도형의 기초는 삼각형...
-|역학적 에너지는 기본적으로 보존된다. 보존되지 않는 경우는 마찰, 빛 등으로 인해 에너지를 잃는 경우.
+|-
-이런 특수한 상황을 위해 정립된 개념.(누가 만들었는지는 모름...ㅜ)
+|반구
+|
-일반적으로 계에서 특정 입자에 일을 하면 그 입자의 운동에너지에 변화가 생긴다.
+|-
+|반구껍질
-#특정 계가 한 전체 일(중력이 떨어지는 물체에 일을 한다든가..)을 <math>W_t</math>라고 하고, 보존력이 한 일을 <math>W_c</math>, 비보존력이 한 일을 <math>W_n</math>이라고 하면 <math>W_t=W_c+W_n=\Delta K</math>
+|
-#중력과 같은 보존력이 일을 하면 해당 계의 위치에너지가 감소한다.   <math>W_c= -\Delta U</math>
+|-
-#다시 정리하면 <math>W_t=-\Delta U + W_n=\Delta K</math> 인데,
+|반원고리
-#<math>W_n=\Delta K +\Delta U</math> 이므로
+|일반적인 순서라면 1,2,3차원 순으로 올라가는 게 맞지만.. 여긴 적분이 어려워서 뒤에 배치했다.
-#비보존력이 역학적 에너지의 변화를 만든다는 것을 알 수 있다.
 |-
-|보존력
+|반원반
-conservative force
+|
-|비보존력을 다루면서 주목된 힘.
-어떤 경로로 운동하든 처음 자리로 돌아오면 한 일이 0이 되는 힘.(중력, 탄성력, 전기력 등)
-처음 위치와 최종 위치만 같으면 되므로, 임의의 경로를 따라 순환적분 한다.
-<math>\int_{A}^{B} \overrightarrow{F}\cdot d \overrightarrow{r} + \int_{B}^{A} \overrightarrow{F}\cdot d \overrightarrow{r}
-= \oint \overrightarrow{F}\cdot d \overrightarrow{r} =0</math>
-다음과 같은 특성이 있다.
-#보존력이 한 일의 음수값만큼 퍼텐셜에너지의 변화가 나타난다. <math>\Delta U =-\int_{A}^{B} \overrightarrow{F} \cdot d \overrightarrow{r} </math>
-#경로에 무관하다. 이 특성을 이용하여 가장 간단한 경로를 이용하여 복잡한 운동 문제를 쉽게 풀 수 있다.
-#시작과 끝점이 같으면 보존력이 한 일은 0
-#스톡스 정리에 따라 <math>\oint \overrightarrow{F}\cdot d \overrightarrow{r} = \int_{s}^{} (\bigtriangledown \times \overrightarrow{F})\cdot d\overrightarrow{a}</math> (근데, 이걸 배웠을까...???)
 |}
 ===전개질문===
-#딱히.. 낼 문제가 없다. 스톡스 정리...가 뭔진 모를테지만, 임의의 경로에 따른 순환적분에 대한 증명을 시도해보세요.(검사는 따로 안함.)
+#각각의 회전관성을 증명하는 연습을 해보세요.(따로 검사는 안함. 설문엔 아무말이나 쓰세요.)
 ===도착질문===
-#중력에서 <math>U = -GMm \frac{1}{r}</math>이기 때문에 운동에너지를 더해도 역학적 에너지가 음수가 되는 경우가 있다. 역학적 에너지의 음수값이 의미하는 것은 뭘까?
+#또 어떤 물체의 질량중심을 알아보면 좋을까??
 #

고급물리:질량중심: 두 판 사이의 차이

2023년 3월 12일 (일) 18:36 판

목차

배우는 이유

출발질문(마지막까지 학습한 후에 대답해보세요~)

도입

학습

영상

수업요약

질량중심

질량중심과 뉴턴의 법칙

여러 강체들의 질량중심

전개질문

도착질문

학생들의 질문

분류하지 않은 질문

더 나아가기

수업 후, 흥미로운 것

답

생기부 기록 예시

각주

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