고급물리:일과 에너지 편집하기 (부분)

===일===
<math>\overrightarrow{F} \cdot  \overrightarrow{s}</math>
{| class="wikitable"
!단계
!설명
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|기원
|아마 도르레, 빗면, 지렛대 등에서 사용되는 일의 원리가 일의 기원이 되었을듯.
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|의미
|일을 하면 물체의 속도가 변화하거나, 물체의 위치가 바뀌는 등의 효과가 나타난다.
(힘과는 구분되는데, 에너지와 엮이면서 의미가 생긴 경우인 듯)
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|의문
|왜 내적을 할까?

*상자를 끄는 예시. 물체의 운동상태 변화에 아무런 기여를 하지 않는다.
*자유로운 입자에서. 운동방향에 수직한 힘은 속력 변화에 아무런 기여를 하지 않는다.
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|일-에너지 정리
|선생님이 배울 땐 아무도 운동에너지의 기원에 대해 알려주지 않아서 고민해봤습니다....
'''일반적인 운동 상황에서의 접근.'''

물체에 힘이 가해져 미소변위 ds만큼 이동할 때, <math>dW = \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s} </math> 만큼의 일을 한다.

특정 구간 a에서 b까지 이동시킬 때 한 일은 <math>\int\limits_{}^{} dW = \int\limits_{a}^{b} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s}
=\int\limits_{a}^{b} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s} 
=\int\limits_{a}^{b} m\tfrac{d^2x}{dt^2} dx </math> 이다.

<math>\int\limits_{a}^{b} m\tfrac{d^2x}{dt^2} dx
=\int\limits_{}^{} m\tfrac{dv}{dt} v dt =\int\limits_{v_a}^{v_b} \tfrac{m}{2} d(v^2) </math> 이다.

<math>\int dW =\tfrac{1}{2}mv^2_b - \tfrac{1}{2}mv^2_a </math>에서 처음 속도가 0이라고 하면 일을 한 만큼 운동에너지가 증가함을 알 수 있다.

- 반대로 마찰력이 일정하게 작용하는 지점에서 물체가 나아간 거리 d는 얼마나 될까?

<math>v= v_0 -at</math>와 <math>x=v_0t - \frac{1}{2}at^2</math> 을 이용하면 알 수 있다.

<math>\tfrac{1}{2} mv^2 = F_{ext} d </math> 의 관계가 있다.

(일을 한 만큼 운동에너지가 증가하고, 운동에너지만큼 일을 할 수 있다.)

'''힘 자체에 대한 수학적 접근.'''

<math>F=\frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}=mv\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}(\frac{1}{2}mv^2) </math>

=> 결론. 일을 해준 만큼 해당 계의 에너지가 증가한다는 것.
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|부록
|위와 같은 적분을 선적분이라 한다.
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