고급물리:퍼텐셜 에너지 편집하기 (부분)

===퍼텐셜 에너지===
특정 계에 일을 했을 때 계 안에 저장되는 에너지.
{| class="wikitable"
!개념
!설명
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|중력 퍼텐셜 에너지
|'''상황 1. 물체를 위로 들어올릴 때.(사람이 일할 때)'''
중력이 <math>-mg</math>인 중력장 안에서 물체를 들어 <math>h</math>만큼 올리는 상황을 생각해 보자. 사람은 중력을 거슬러 <math>mgh</math>만큼의 일을 했는데, 물체의 속도는 증가하지 않았다.

이건 어디로 갔을까...?

'''상황 2. 물체를 위로 던졌을 때.(물체가 일할 때)'''

중력이 <math>-mg</math>인 중력장 안에서 물체를 위로 던지면 <math>-2gh = v^2 - v^2_0</math>의 형태로 속도가 감소한다.

에너지의 형태로 정리하면 <math>-mgh =\frac{1}{2}m v^2 - \frac{1}{2}mv^2_0</math> 이다. 물체가 한 일은 <math>mgh</math>이고, 중력이 받은 일도 <math>mgh</math>이다.

즉, 물체가 일을 한 만큼 물체의 운동에너지는 감소하고, 한 일은 어디론가 사라졌다 낙하할 때 다시 나타난다.

'''결론.'''

중력 외부에서 한 일은 사라져 어딘가에 저장되었다가 다시 한 일 만큼 나타난다. 이 어딘가에 저장되는 에너지를 중력퍼텐셜 에너지라 부른다.

'''특징.'''

기준은 의미가 없다. -가 되기도 하고.. 상대적인 차이만 유의미.
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|탄성 퍼텐셜 에너지
|용수철의 탄성을 거슬러 일을 할 경우.

- <math>\textstyle \int_{x_1}^{x_2} dW =  \textstyle \int_{x_1}^{x_2} -\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}
=\textstyle \int_{x_1}^{x_2} k dx = \frac{1}{2}kx^2_2-\frac{1}{2}kx^2_1</math>(F는 탄성력. 탄성력의 반대반향으로 가해주는 일이 저장된다.)
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|중력 퍼텐셜 에너지
(움직이는 거리가 클 때)
|지표면 근처에선 중력을 mg로 근사할 수 있지만, 지표면에서 멀어지는 경우, 중력도 줄어든다. <math>G \frac  {m_1m_2}{r^2}</math> 꼴로.

먼 거리를 이동했을 땐 근사값을 사용할 수 없다.

- 입자에 작용하는 힘은 <math>-G \frac{Mm}{r^2}\widehat{r}</math> 이므로

- 중력을 거슬러 미소변위를 움직일 때 한 일은 <math>dW =  -\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}</math> 이다.(F는 중력)(중력의 반대반향으로 가해주는 일이 저장된다.)

- <math>r_1</math>에서 <math>r_2</math>까지 중력을 거스를 때 한 일은 <math>\textstyle \int_{r_1}^{r_2} dW =  \textstyle \int_{r_1}^{r_2} -\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}
=\textstyle \int_{r_1}^{r_2} \tfrac{GMm}{r^2}dr = GMm\left \lceil  -\frac{1}{r} \right \rceil^{r_2}_{r_1}</math>

- 해준 일 만큼 중력에 저장되어 <math>U = -GMm \left ( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right )</math> 이다.(이 값은 나중에너지-처음에너지 형태. 해당 정보를 담은 항끼리 모아보면.... <math>\Delta U = U(r_f)-U(r_i)</math>)

- 처음 에너지를 0으로 잡았을 때 일을 해준 만큼이 퍼텐셜 에너지가 된다. mgh와 1/2 kx^2처럼.

- 그런데, 이상하다. 지금까지는 지표면을 0으로 잡았지만, 그렇게 기준을 잡으면 행성에 따라 기준이 달라지고 만다. 그렇다고 r=0일 때를 기준으로 잡으면 무한대가 되어버려, 의미가 없다.

=> 때문에 아주 먼 지점 <math>r_2 = \infty</math> 일 때의 위치에너지를 0으로 잡고 <math>U = -GMm \frac{1}{r}</math> 을 위치에너지라 정한다. 재미있게도 위치에너지가 작아질수록 더욱 큰 음수가 되는 형태이다.

ps. 중력과 전기력의 형태가 동일하기에, 전기장을 다룰 때에도 수학적 표현이 동일하다.

ps. 이해하기 어렵다. 퍼텐셜이 -라니... 처음엔 직관적으로 맞지 않아 받아들이기 어렵다.

PE = 0에서 mgh만큼의 일을 해주면 퍼텐셜이 mgh가 되었는데, 용수철에서도 해준 일 만큼 1/2 kx^2이 생겼는데.. 프레임을 달리 생각해야 한다. 현재의 상태는 중력장이 <math>W = GMm \frac{1}{r}</math>만큼의 일을 해서 <math>U = -GMm \frac{1}{r}</math> 만큼이 저장되어 있는 상태라고.
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|일반화
|위에서 사람이 올릴때로 접근했다면.. 일반화를 위해 중력과 탄성력 입장에서의 접근으로 바꾼다.(엄밀히 말하면 사람이 한 일은 물체의 속도를 바꾸기도 하니까..)
중력 혹은 탄성력이 <math>\overrightarrow{F}</math>라고 하면, 외력이 주어질 때 중력장 혹은 용수철은 <math>dW = \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}</math> 만큼의 일을 한다고 하자.(내적하면 음수값이 나온다.)

- 외부에서 한 일은 <math>-dW =- \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}</math> 이고. 이 값이 해당 계에 저장된다.(위에선 일을 가하는 사람 기준, 이번엔 일을 받는 계 기준. 왜냐하면 중력과 탄성력을 기준으로 하기 위해.)

- 즉, 퍼텐셜에너지의 변화량 <math>\triangle U = -W =- \int \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}</math> 의 값을 갖는다.

- 반대로 <math>\triangle U</math> 를 변위에 대해 미분하여 음수를 씌우면 해당 계에서 받는 힘을 알 수 있다. <math>- \frac{dU}{dx} = F</math>

계가 한 일의 음수를 취한다는 것은.. 계가 받은 일을 의미한다. 곧, 계가 받은 일이 계에 저장됨...

실제로 mgh, 탄성에너지, 중력퍼텐셜 미분해보면 좋을듯.
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