고급물리:질량중심 편집하기 (부분)

===질량중심===
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{| class="wikitable"
!개념
!설명
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|질량중심
|물체의 모든 질량이 모인 것처럼 보이는 한 점.
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|1차원에서 질량중심 찾기
|입자 1이 원점에, 입자 2가 d 지점에 있다면 질량중심은 어디에 있을까?
시소와 균형의 경험으로부터...

*만약 두 입자의 질량이 같다면?
*두 입자의 질량비가 n:m이라면?

질량중심으로부터의 거리를 각각 <math>d_1, d_2</math>라고 하면 <math>m_1 d_1 =m_2 d_2</math>의 관계가 있을 것이다.

<math>d_1 +d_2    =d</math> 임을 이용하여 <math>d_2</math>를 소거해 정리하면 질량중심은 <math>d_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2}d</math> 이다.
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|1차원에서의 일반화
|입자 1이 항상 원점에 있는 건 아닐테니, 입자 1이 <math>x_1</math>에 있다고 가정하면...?

<math>x_{com} = \frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}</math> 어디서 많이 본 형태인데... 수학에서 내분점 식과 동일한 형태이다.
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|3차원에서의 일반화
|직선에서 내분점을 구하듯, 자연스럽게 3차원으로 확장된다.
<math>x_{com} = \frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}</math>, <math>y_{com} = \frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_1+m_2}</math>, <math>z_{com} = \frac{m_1z_1+m_2z_2}{m_1+m_2}</math>
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|여러 입자에 대한 일반화
|다른 입자를 추가한다면..?
기준 두 입자를 하나의 입자로 취급할 수 있다. <math>x_{3com} = \frac{Mx_{com}+m_3x_3}{M+m_3}</math>

<math>x_{3com} = \frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}</math>

n개 입자들의 질량중심은 <math>x_{com} = \frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}= \frac{1}{M}\sum_{i=1}^n m_i x_i</math>
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|수많은 연속 입자들에 대한 일반화
|수많은 미소질량들의 질량중심.
<math>x_{com} = \frac{\Delta m_1x_1+\Delta m_2x_2+\cdots+\Delta m_nx_n}{\Delta m_1+\Delta m_2+\cdots+\Delta m_n}= \frac{\sum_{i=1}^n \Delta m_i x_i}{\sum_{i=1}^n \Delta m_i}</math>

<math>\frac{\sum_{i=1}^n \Delta m_i x_i}{\sum_{i=1}^n \Delta m_i} = \frac{\int xdm}{\int dm} = \frac{1}{M}\int xdm</math>

이걸 적분하려면 dm과 x의 관계를 알아야 하는데, 이를 위하여 밀도가 일정하다 가정하여 다음과 같이 쓴다.

<math>\frac{1}{M}\int xdm = \frac{1}{M}\int x dV \frac{M}{V}</math> 보통 dV는 위치변수의 영향을 받아, <math>A(x)dx</math> 로 쓴다.

<math>x_{com} = \frac{1}{V}\int x A(x) dx</math>
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