고급물리:회전운동과 운동법칙 편집하기 (부분)

==수업요약==
===회전운동학===
{| class="wikitable"
!개념
!설명
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|각변위
|회전의 정도는 물체가 회전하는 각도로 표현한다.
시계 반대방향으로 커지며, 각도는 움직인 거리를 회전반경으로 나눈 <math>\theta=S/r</math> 형태이다.

다양한 방향으로의 회전이 가능한데, 회전의 방향은 회전경로를 네 손가락으로 감쌀 때 엄지손가락이 향하는 방향으로, 회전축과 겹쳐진다.
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|각속도
|단위시간당 각도가 얼마나 변하는가. <math>\omega =\frac {d  \theta }{d t}</math>
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|각가속도
|단위시간당 각속도가 얼마나 변하는가. <math>\alpha =\frac {d  \omega }{d t} =\frac {d^2  \theta }{d t^2}</math>
|}

===선변수와 각변수의 관계(병진운동과의 관련성)===
{| class="wikitable"
!개념
!설명
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|변위와 각변위
|이동거리는 변위에 반지름을 더해준 값이다.
<math>S=\theta r</math>
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|속도와 각속도
|<math>v =\frac {d (\theta r) }{d t}= \omega r</math>
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|가속도와 각가속도
|<math>a =\frac {d^2 (\theta r) }{d t^2}= \alpha r</math>
유의. 여기에서 말하는 각가속도는 물체의 접선방향의 가속도만 나타낼 뿐, 실제 가속도는 이 가속도에 수직한 구심가속도도 고려해주어야 한다.
|}

===선변수와 각변수의 유사성===
{| class="wikitable"
|
! colspan="2" |'''병진운동(직선운동)'''
! colspan="2" |'''회전운동'''
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!'''시간당 변화'''
| colspan="2" |<math>v= v_0  + at</math>
| colspan="2" |<math>\omega= \omega_0  + \alpha  t</math>
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!'''변화량'''
| colspan="2" |<math>x-x_0   = v_0   t + \frac{1}{2}at^2</math>
| colspan="2" |<math>\theta-\theta_0   = \omega_0   t + \frac{1}{2} \alpha t^2</math>
|}

===회전의 근원===
회전을 만드는 것은 무엇일까? 그리고 이로 인해 만들어지는 것들은 선변수와 어떤 차이가 있을까?
{| class="wikitable"
!개념
!설명
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|토크
|아르키메데스 이후, 기본적으로 회전을 만드는 원인이 힘과 축으로부터의 거리에 비례한다는 것은 알고 있다.
<math>\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F} </math> 로 정의된다.
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|회전관성
|원운동을 하는 경우, <math>\tau = rF =r m \frac{d^2 s}{dt^2} </math> 형태이다. 이는 <math>\tau = r m \frac{d^2 (r\theta)}{dt^2}=   r^2 m \alpha </math> 로 변형할 수 있다.

alpha는 가속을 나타내는 문자이고, 나머지 <math>mr^2 </math>은 관성에 해당하는 부분으로 볼 수 있다.

팔을 벌리거나, 외줄타기에서 봉을 들고 타는 것과 관련이 있다.
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|각운동량
|F는 운동량의 변화를 만들어낸다. 회전의 근원은 운동량의 변화에 r을 크로스곱한 형태로 만들어지는데, 다음과 같이 쓸 수 있다.
<math>\overrightarrow{\tau} = \frac{d (\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p} ) }{dt}  </math>

힘이 만드는 것이 운동량의 변화라면, 회전력이 만드는 것은 각운동량의 변화라 할 수 있고 각운동량은 운동량에 r을 크로스곱한 형태가 된다.

운동량과 동일하게 항상 보존되려는 성질이 있다.(피겨스케이팅, 태권도, 권투 등)

<math>\overrightarrow{l} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p} = I \overrightarrow{\omega}  </math>
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|한 일
|이미 <math>\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F} </math> 자체가 일의 단위와 차원이 같다. 회전하는 물체에 가해주는 일은 <math>\tau \Delta\theta = rF \Delta \theta </math> 로 표현한다.
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|일률
|<math>\tau \frac{\Delta\theta}{\Delta t} = rF \omega = \tau \omega </math>
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|회전운동에너지
|회전하고 있는 물체의 운동에너지는 이를 구성하는 입자의 운동에너지를 모두 합하면 되리라 생각된다.
각 입자의 운동에너지는 <math>\sum \frac{1}{2}m_i v^2_i = \sum \frac{1}{2}m_i (r_i\omega_i)^2  = \sum \frac{1}{2}m_i r^2_i(\omega_i)^2  </math>

이때 모든 입자에서 omega값은 같고, <math>\sum m_i r^2_i  </math> 이 합은 물체의 회전관성과 같아 <math>K =  \frac{1}{2} I \omega^2  </math> 로 표현할 수 있다.
|}
===세차운동(축돌기 운동)===
회전축 자체가 회전하는 것을 세차운동이라 부른다.

돌고 있는 팽이엔 중력으로 인해 <math>\tau = mgr \sin \theta </math> 만큼의 회전력이 지면과 평행하게 가해진다. 멈춰있는 경우라면 팽이가 각운동량을 만들며 넘어지겠지만, 토크의 방향이 회전하는 팽이의 각운동량에 수직하여, 각운동량의 방향 변화를 만들지만, 넘어지지 않은 상태가 된다.

토크의 크기는 <math>\tau=h_{cm} mg \sin \theta</math> 인데, 각운동량의 변화 관점에서 보면 <math>\tau=L \sin \theta \frac{d \phi}{dt}</math> 이다.

세차운동의 속도에 대해 정리하면 <math>\frac{d \phi}{dt}= \Omega = \frac{\tau}{L \sin \theta}</math> 임을 알 수 있다. 사실, 토크에도 sin이 숨어있어, <math>\Omega = \frac{rF \sin \theta}{L \sin \theta}= \frac{rF}{L}</math>(단, <math>\theta =0</math>일 땐 세차운동이 발생하지 않아, 수평면을 찾는 용으로도 사용한다.)

===전개질문===

#이번에 배운 돌림힘과 관련 있는 일상의 도구는 어떤 게 있을까? 그리고 그 원리에 대해 간략히 써보세요~

===도착질문===

#세상에서 볼 수 있는 각운동량 보존의 예와 그 원리에 대해 1개씩 말해보자.
#교과서와 수업에서 안내된 것 외, 구해보면 좋을 회전관성은 어떤 게 있을까?
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