고급물리:퍼텐셜 에너지 편집하기 (부분)

==수업요약==

===퍼텐셜 에너지===
특정 계에 일을 했을 때 계 안에 저장되는 에너지.
{| class="wikitable"
!개념
!설명
|-
|중력 퍼텐셜 에너지
|'''상황 1. 물체를 위로 들어올릴 때.(사람이 일할 때)'''
중력이 <math>-mg</math>인 중력장 안에서 물체를 들어 <math>h</math>만큼 올리는 상황을 생각해 보자. 사람은 중력을 거슬러 <math>mgh</math>만큼의 일을 했는데, 물체의 속도는 증가하지 않았다.

이건 어디로 갔을까...?

'''상황 2. 물체를 위로 던졌을 때.(물체가 일할 때)'''

중력이 <math>-mg</math>인 중력장 안에서 물체를 위로 던지면 <math>-2gh = v^2 - v^2_0</math>의 형태로 속도가 감소한다.

에너지의 형태로 정리하면 <math>-mgh =\frac{1}{2}m v^2 - \frac{1}{2}mv^2_0</math> 이다. 물체가 한 일은 <math>mgh</math>이고, 중력이 받은 일도 <math>mgh</math>이다.

즉, 물체가 일을 한 만큼 물체의 운동에너지는 감소하고, 한 일은 어디론가 사라졌다 낙하할 때 다시 나타난다.

'''결론.'''

중력 외부에서 한 일은 사라져 어딘가에 저장되었다가 다시 한 일 만큼 나타난다. 이 어딘가에 저장되는 에너지를 중력퍼텐셜 에너지라 부른다.

'''특징.'''

기준은 의미가 없다. -가 되기도 하고.. 상대적인 차이만 유의미.
|-
|탄성 퍼텐셜 에너지
|용수철의 탄성을 거슬러 일을 할 경우.

- <math>\textstyle \int_{x_1}^{x_2} dW =  \textstyle \int_{x_1}^{x_2} -\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}
=\textstyle \int_{x_1}^{x_2} k dx = \frac{1}{2}kx^2_2-\frac{1}{2}kx^2_1</math>(F는 탄성력. 탄성력의 반대반향으로 가해주는 일이 저장된다.)
|-
|중력 퍼텐셜 에너지
(움직이는 거리가 클 때)
|지표면 근처에선 중력을 mg로 근사할 수 있지만, 지표면에서 멀어지는 경우, 중력도 줄어든다. <math>G \frac  {m_1m_2}{r^2}</math> 꼴로.

먼 거리를 이동했을 땐 근사값을 사용할 수 없다.

- 입자에 작용하는 힘은 <math>-G \frac{Mm}{r^2}\widehat{r}</math> 이므로

- 중력을 거슬러 미소변위를 움직일 때 한 일은 <math>dW =  -\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}</math> 이다.(F는 중력)(중력의 반대반향으로 가해주는 일이 저장된다.)

- <math>r_1</math>에서 <math>r_2</math>까지 중력을 거스를 때 한 일은 <math>\textstyle \int_{r_1}^{r_2} dW =  \textstyle \int_{r_1}^{r_2} -\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}
=\textstyle \int_{r_1}^{r_2} \tfrac{GMm}{r^2}dr = GMm\left \lceil  -\frac{1}{r} \right \rceil^{r_2}_{r_1}</math>

- 해준 일 만큼 중력에 저장되어 <math>U = -GMm \left ( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right )</math> 이다.(이 값은 나중에너지-처음에너지 형태. 해당 정보를 담은 항끼리 모아보면.... <math>\Delta U = U(r_f)-U(r_i)</math>)

- 처음 에너지를 0으로 잡았을 때 일을 해준 만큼이 퍼텐셜 에너지가 된다. mgh와 1/2 kx^2처럼.

- 그런데, 이상하다. 지금까지는 지표면을 0으로 잡았지만, 그렇게 기준을 잡으면 행성에 따라 기준이 달라지고 만다. 그렇다고 r=0일 때를 기준으로 잡으면 무한대가 되어버려, 의미가 없다.

=> 때문에 아주 먼 지점 <math>r_2 = \infty</math> 일 때의 위치에너지를 0으로 잡고 <math>U = -GMm \frac{1}{r}</math> 을 위치에너지라 정한다. 재미있게도 위치에너지가 작아질수록 더욱 큰 음수가 되는 형태이다.

ps. 중력과 전기력의 형태가 동일하기에, 전기장을 다룰 때에도 수학적 표현이 동일하다.

ps. 이해하기 어렵다. 퍼텐셜이 -라니... 처음엔 직관적으로 맞지 않아 받아들이기 어렵다.

PE = 0에서 mgh만큼의 일을 해주면 퍼텐셜이 mgh가 되었는데, 용수철에서도 해준 일 만큼 1/2 kx^2이 생겼는데.. 프레임을 달리 생각해야 한다. 현재의 상태는 중력장이 <math>W = GMm \frac{1}{r}</math>만큼의 일을 해서 <math>U = -GMm \frac{1}{r}</math> 만큼이 저장되어 있는 상태라고.
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|일반화
|위에서 사람이 올릴때로 접근했다면.. 일반화를 위해 중력과 탄성력 입장에서의 접근으로 바꾼다.(엄밀히 말하면 사람이 한 일은 물체의 속도를 바꾸기도 하니까..)
중력 혹은 탄성력이 <math>\overrightarrow{F}</math>라고 하면, 외력이 주어질 때 중력장 혹은 용수철은 <math>dW = \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}</math> 만큼의 일을 한다고 하자.(내적하면 음수값이 나온다.)

- 외부에서 한 일은 <math>-dW =- \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}</math> 이고. 이 값이 해당 계에 저장된다.(위에선 일을 가하는 사람 기준, 이번엔 일을 받는 계 기준. 왜냐하면 중력과 탄성력을 기준으로 하기 위해.)

- 즉, 퍼텐셜에너지의 변화량 <math>\triangle U = -W =- \int \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}</math> 의 값을 갖는다.

- 반대로 <math>\triangle U</math> 를 변위에 대해 미분하여 음수를 씌우면 해당 계에서 받는 힘을 알 수 있다. <math>- \frac{dU}{dx} = F</math>

계가 한 일의 음수를 취한다는 것은.. 계가 받은 일을 의미한다. 곧, 계가 받은 일이 계에 저장됨...

실제로 mgh, 탄성에너지, 중력퍼텐셜 미분해보면 좋을듯.
|}<br />
===퍼텐셜 에너지 곡선===
[https://www.google.co.kr/search?q=%EC%9E%84%EC%9D%98%EC%9D%98+%ED%8D%BC%ED%85%90%EC%85%9C+%EC%97%90%EB%84%88%EC%A7%80+%EA%B3%A1%EC%84%A0&tbm=isch&ved=2ahUKEwj94tTAy839AhXttlYBHeNxCxcQ2-cCegQIABAA&oq=%EC%9E%84%EC%9D%98%EC%9D%98+%ED%8D%BC%ED%85%90%EC%85%9C+%EC%97%90%EB%84%88%EC%A7%80+%EA%B3%A1%EC%84%A0&gs_lcp=CgNpbWcQAzoECCMQJ1C8B1iPDGDCDWgBcAB4AYABbYgBwwiSAQM3LjSYAQCgAQGqAQtnd3Mtd2l6LWltZ8ABAQ&sclient=img&ei=GCgJZP32M-3t2roP4-OtuAE&bih=938&biw=1874#imgrc=ViDvOeMc5bu-vM 퍼텐셜 에너지 곡선 이미지 검색] 중력장 안에선 이렇게 생긴 그릇이라 보아도 무방하다.
{| class="wikitable"
!개념
!설명
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|계 내부에서 가해지는 힘
|퍼텐셜에너지 곡선의 기울기의 음수값이 힘이 된다.
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|안정 평형점
|입자가 살짝 변위되면 다시 되돌아오는 힘이 작용하는 지점.
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|불안정 평형점
|살짝만 움직여도 균형이 깨지는 지점.
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|회귀점
|입자의 운동방향이 바뀌는 지점.(초기 에너지에 따라 달라짐)
|}
ps. 다시 한 번 중력퍼텐셜에 대해 다룬다면.. 그 그래프를 그릴 때, 초기 전체 에너지가 0이라는 말은....? 무한히 멀어질 수 있다는 말. 즉, 전체 에너지가 0 이상이라는 건...

===보존력과 비보존력===
역학적 에너지가 뭔지 안다는 가정.
{| class="wikitable"
!개념
!설명
|-
|비보존력
non-conservative force
|역학적 에너지는 기본적으로 보존된다. 보존되지 않는 경우는 마찰, 빛 등으로 인해 에너지를 잃는 경우.
이런 특수한 상황을 위해 정립된 개념.(누가 만들었는지는 모름...ㅜ)

일반적으로 계에서 특정 입자에 일을 하면 그 입자의 운동에너지에 변화가 생긴다.

#특정 계가 한 전체 일(중력과 저항력이 떨어지는 물체에 일을 한다든가..)을 <math>W_t</math>라고 하고, 보존력이 한 일을 <math>W_c</math>, 비보존력이 한 일을 <math>W_n</math>이라고 하면 <math>W_t=W_c+W_n=\Delta K</math>
#중력과 같은 보존력이 일을 하면 해당 계의 위치에너지가 감소한다.   <math>W_c= -\Delta U</math>
#다시 정리하면 <math>W_t=-\Delta U + W_n=\Delta K</math> 인데,
#<math>W_n=\Delta K +\Delta U</math> 이므로
#비보존력이 역학적 에너지의 변화를 만든다는 것을 알 수 있다.
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|보존력
conservative force
|비보존력을 다루면서 주목된 힘.
어떤 경로로 운동하든 처음 자리로 돌아오면 한 일이 0이 되는 힘.(중력, 탄성력, 전기력 등)

처음 위치와 최종 위치만 같으면 되므로, 임의의 경로를 따라 순환적분 한다.

<math>\int_{A}^{B} \overrightarrow{F}\cdot d \overrightarrow{r} + \int_{B}^{A} \overrightarrow{F}\cdot d \overrightarrow{r}
= \oint \overrightarrow{F}\cdot d \overrightarrow{r} =0</math>

다음과 같은 특성이 있다.(하나를 만족하면 나머지를 무조건 만족한다. 서로에게 필요충분조건.)

#보존력이 한 일의 음수값만큼 퍼텐셜에너지의 변화가 나타난다. <math>\Delta U =-\int_{A}^{B} \overrightarrow{F} \cdot d \overrightarrow{r} </math>(보존력이 한 일의 음수만큼 어딘가에 저장.)
#경로에 무관하다. 이 특성을 이용하여 가장 간단한 경로를 이용하여 복잡한 운동 문제를 쉽게 풀 수 있다.
#시작과 끝점이 같으면 보존력이 한 일은 0.
#스톡스 정리에 따라 <math>\oint \overrightarrow{F}\cdot d \overrightarrow{r} = \int_{s}^{} (\bigtriangledown \times \overrightarrow{F})\cdot d\overrightarrow{a}</math> (근데, 이걸 배웠을까...???)
|}
===전개질문===

#딱히.. 낼 문제가 없다. 스톡스 정리...가 뭔진 모를테지만, 임의의 경로에 따른 순환적분에 대한 증명을 시도해보세요.(검사는 따로 안함.)

===도착질문===

#중력에서 <math>U = -GMm \frac{1}{r}</math>이기 때문에 운동에너지를 더해도 역학적 에너지가 음수가 되는 경우가 있다. 역학적 에너지의 음수값이 의미하는 것은 뭘까?
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