고급물리:일과 에너지 편집하기 (부분)

==수업요약==
이번 수업의 의미는 새로운 걸 알아간다기 보단... 과거에 배웠던 걸 새로운 용어로 확인하는 것.

===에너지===
일을 할 수 있는 능력.
{| class="wikitable"
!단계
!설명
|-
|기원
|빠르면 1400년대 부터, 늦게는 1600년대부터 운동에서 어떤 물리량이 보존되는지 연구했고, 1849년에 이르러서야 윌리엄 톰슴이 운동에너지라는 용어를 처음 사용했다.
굉장히 오랜 시간, 광범위한 과정을 거쳐서 발견해낸 물리량으로, 그 역사를 간략하게 소개하긴 어렵다.(그걸 해내면 세특 써줘야지.)
|-
|복습
|운동에너지는 <math>\tfrac{1}{2} mv^2 </math> 형태.

중력위치에너지는 mgh 형태.

탄성위치에너지는 <math>\tfrac{1}{2} kx^2 </math>
|}
===일===
<math>\overrightarrow{F} \cdot  \overrightarrow{s}</math>
{| class="wikitable"
!단계
!설명
|-
|기원
|아마 도르레, 빗면, 지렛대 등에서 사용되는 일의 원리가 일의 기원이 되었을듯.
|-
|의미
|일을 하면 물체의 속도가 변화하거나, 물체의 위치가 바뀌는 등의 효과가 나타난다.
(힘과는 구분되는데, 에너지와 엮이면서 의미가 생긴 경우인 듯)
|-
|의문
|왜 내적을 할까?

*상자를 끄는 예시. 물체의 운동상태 변화에 아무런 기여를 하지 않는다.
*자유로운 입자에서. 운동방향에 수직한 힘은 속력 변화에 아무런 기여를 하지 않는다.
|-
|일-에너지 정리
|선생님이 배울 땐 아무도 운동에너지의 기원에 대해 알려주지 않아서 고민해봤습니다....
'''일반적인 운동 상황에서의 접근.'''

물체에 힘이 가해져 미소변위 ds만큼 이동할 때, <math>dW = \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s} </math> 만큼의 일을 한다.

특정 구간 a에서 b까지 이동시킬 때 한 일은 <math>\int\limits_{}^{} dW = \int\limits_{a}^{b} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s}
=\int\limits_{a}^{b} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s} 
=\int\limits_{a}^{b} m\tfrac{d^2x}{dt^2} dx </math> 이다.

<math>\int\limits_{a}^{b} m\tfrac{d^2x}{dt^2} dx
=\int\limits_{}^{} m\tfrac{dv}{dt} v dt =\int\limits_{v_a}^{v_b} \tfrac{m}{2} d(v^2) </math> 이다.

<math>\int dW =\tfrac{1}{2}mv^2_b - \tfrac{1}{2}mv^2_a </math>에서 처음 속도가 0이라고 하면 일을 한 만큼 운동에너지가 증가함을 알 수 있다.

- 반대로 마찰력이 일정하게 작용하는 지점에서 물체가 나아간 거리 d는 얼마나 될까?

<math>v= v_0 -at</math>와 <math>x=v_0t - \frac{1}{2}at^2</math> 을 이용하면 알 수 있다.

<math>\tfrac{1}{2} mv^2 = F_{ext} d </math> 의 관계가 있다.

(일을 한 만큼 운동에너지가 증가하고, 운동에너지만큼 일을 할 수 있다.)

'''힘 자체에 대한 수학적 접근.'''

<math>F=\frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}=mv\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}(\frac{1}{2}mv^2) </math>

=> 결론. 일을 해준 만큼 해당 계의 에너지가 증가한다는 것.
|-
|부록
|위와 같은 적분을 선적분이라 한다.
|}
===대표적인 형태===
{| class="wikitable"
!구분
!설명
|-
|중력이 한 일
|'''내가 한 일.'''
내가 한 일은 mgh 이다. 수직방향이 아니라면 <math>mgd \cos\theta </math>

'''중력이 한 일.'''

어떤 물체가 위로 수직상승할 때 중력은 물체에 아랫방향으로 mg만큼의 힘을 가한다. 이동거리는 h라면, 힘과 이동거리는 반대이기 때문에 중력이 한 일은 <math>-mgh </math> 가 된다.

수직한 방향이 아니라 대각선으로 d만큼 이동시킨다면 <math>-mgd \cos\theta </math> 이다. <math>d \cos\theta =h </math> 이므로 중력이 한 일은 높이 변화에만 연관이 있다.
|-
|탄성력이 한 일
|'''내가 한 일.'''
<math>\int\limits_{}^{} dW = \int\limits_{a}^{b} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s}
=\int\limits_{a}^{b} kx dx
=\int\limits_{a}^{b}  \tfrac{k}{2}dx^2 </math>

'''탄성력이 한 일.'''

물체가 처음에 운동하던 상태로, 용수철을 변화시키고 있는 상황이라면 용수철이 한 일은 <math>\int\limits_{}^{} dW = \int\limits_{a}^{b} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s}
=\int\limits_{a}^{b} -kx dx
=\int\limits_{a}^{b} - \tfrac{k}{2}dx^2 </math> 이 된다. 용수철이 -부호의 일을 한다.

물체가 멈춰있던 상태로, 용수철이 압축되어 있다가 물체를 밀어내는 상황이라면 용수철이 한 일은 <math>\int\limits_{}^{} dW = \int\limits_{a}^{b} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s}
=\int\limits_{a}^{b} kx dx
=\int\limits_{a}^{b}  \tfrac{k}{2}dx^2 </math> 이 된다. 용수철이 한 일만큼 운동에너지가 증가한다.
|}
===일의 주고 받음(일-에너지 정리 심화)===
이 말장난이 굉장히 헷갈린다;; 

마치... 다음 언급처럼..

*충돌 후 -t 초 = 충돌 t초 전
*충돌 -t초 전 = 충돌 t초 후

일상생활에선 쓰이지 않지만, 어떤 현상을 논리로 다룰 때...
{| class="wikitable"
!상황
!수레의 관점
!손의 관점
|-
|손으로 수레를 민 상황
|수레가 양의 일을 받았다.
수레가 음의 일을 했다.
|손이 양의 일을 했다.
손이 음의 일을 받았다.
|-
|손으로 수레를 멈추는 상황
|수레가 음의 일을 받았다.
수레가 양의 일을 했다.
|손이 음의 일을 했다.
손이 양의 일을 받았다.
|}받았다를 '양+'의 개념으로 생각하면 다음과 같이 정리된다.
{| class="wikitable"
!상황
!수레
!손
|-
|손으로 수레를 민 상황
| +
| -
|-
|손으로 수레를 멈추는 상황
| -
| +
|}
+면 에너지가 늘어나고, -면 에너지가 감소한다고 생각하면 되겠다.

===일률===
단위시간동안 얼마나 많은 일을 하는가. dW/dt 에 해당하는 개념. 보통 힘이 일정하기 때문에 Fv 로 표현된다.(힘과 속도를 내적한 값으로 표현하기도 한다.)

단위는 와트. J/s 이다.

Wh 라는 단위도 많이 쓰는데, 이는 1시간 동안 하는 일을 의미한다. W*3600s = Wh 이다. Wh는 단위가 J과 같다.

===전개질문===

#가해준 <math>dW = \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s} </math> 이 양의 값일 수도, 음의 값일 수도 있다. 양의 값일 때 일어나는 일과 음의 값일 때 일어나는 일을 서술하시오.

===도착질문===

#수업에서 설명한 것 외에 '일'을 적용해 탐구할 수 있는 것은 무엇이 있을까?
#

{| class="wikitable"
|-
|얼음판 위에서 물체와 사람이 있다고 하자. 얼음판 위에서 사람이 물체를 밀 때 작용 반작용의 원리에 의해 서로 반대 방향으로 같은 힘이 작용하고, 얼음판 위에 있기 때문에 사람과 물체 모두 변위가 생긴다. 이때 처음 물체와 사람의 전체 에너지는 0이지만 나중의 물체와 사람의 전체 에너지는 0이 아니게 된다. 이는 에너지 보존 법칙에 위배되는 해석인데 이를 올바르게 서술하시오.
|화학에너지가 물리적 에너지로 전환.
|}