고급물리:운동 편집하기 (부분)

===벡터===
{| class="wikitable"
!분류
!질문
!대답
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!개념
|벡터와 스칼라의 차이가 무엇입니까!
|벡터는 방향성이 있는 것, 스칼라는 방향성이 없이 크기만 있는 것.
벡터의 예) 힘, 무게, 전류, 

스칼라 예) 질량, 온도, 에너지, 전압, 압력, 
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|사람들이 백터와 스칼라에 대하여 처음 생각하고 정의한 것은 무엇을 위하여 였나요?
|물리적 스펙(무게, 밀도)과 물리적 현상(힘, 전류)을 구분하기 위해 필요한 논리적 토대가 아니었을까요? 그냥 느낌만으로, 엄밀한 검증 없이 썼다간 이후에 만들어진 개념들을 다 폐기해야 할 수도 있으니까요.(수학사에서 그런 일이 한 번 벌어졌던 것으로 기억하는데, 정확하겐 기억이 안나네요;;)


헤밀턴이 만든 4원수의 곱셈에 대해 다루다가 요상한 형태의 항 a_xb_x + a_yb_y 처럼 내적의 성분, 외적의 성분항을 발견했는데, 이에 대한 의미를 찾다가 내적과 외적이 만들어졌어요.
그리고 마침 이게 물리적인 현상을 잘 설명해줘서 물리 안에 받아들여졌구요.
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|왜 하필 i, j, k이고 ^(햇)을 붙일까? 허수랑 햇갈려서 그런가?
|이자식아;; 문자랑 구분하기 위해서, 방향만 나타내는 것을 표현하기 위해서라고 하지 않았느냐;;
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|외적과 내적을 쓸때 기호가 점하고 엑스인데 그렇게 정한 이유가 무엇인가요.
|ㅜ.ㅜ... 그건 기호학을 봐야 할텐데.. 수학선생님도 모르시더라구요; 알아오면 세특.
선생님 생각엔 이미 숫자의 곱셈에서 X와 . 을 쓰고 있었는데, 내적하면 방향성이 사라지고, 외적하면 방향성이 그대로 살아있기 때문에 기존의 기호 중 이를 활용한 게 아닐지.
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|백터의 외적, 내적은 계산을 위해 만들어낸건가요?

물체의 운동과 현상을 계산하기 위해 외적과 내적을 만든 것인가, 아니면 현상에서 이런 공식을 유도한 것인가?
|계산을 위해 일부러 만들었다기보단 사원수의 곱에서 그 의미를 찾아내려다 정착된 개념이죠.
그런 수학적 의미가 물리적 현상을 설명하기 적절해서 가져다 쓰는 거라고 보시면 되겠습니다.
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|외적은 새로운 방향의 힘을 찾기 위함이라고 봐도 될까?
|회전력을 표현하는 데 적절한 도구입니다. 회전력의 방향을 찾게 도와주는 도구라 보면 좋을 것 같네요!
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|스칼라 곱이 벡터의 내적이고 벡터곱이 벡터의 외적인가요? 증명과정이 이해하기가 어려웠는데 참고할 만한 책이 있을까요?
|네. 혹시 제 pdf 파일로 봐도 어려웠나요;;;?
증명과정은... 수리물리 책에도 있긴 할거에요.
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|<nowiki>외적을 나타내는 방법이 (AyBz-AzBy)i+(AzBx-AxBz)j+(AxBy-AyBx)k와 |A||B|sino 두 가지가 있는데 그러면 이 값이 같은지, 그리고 어떻게 같은지 궁금합니다.</nowiki>
|두 값은 같구요, 증명은 혹시 제 pdf 파일로 봐도 어려웠나요;;;?
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|외적으로 정의한 물리량이 있는데 왜 외적으로 정의를 한 건 가요.
|처음부터 외적으로 정의한 게 아니고, 물리에 대해 연구하다 보니, 거기에 걸맞는 표현방식이 마침 수학에 있어서 가져다 쓴...느낌이 강하죠.
초끈이론이 만들어질 당시... 물리학자와 수학자가 논의하다가... 물리학자가 하는 말을 듣곤, 수학자가 '어? 이거 끈방정식이랑 똑같이 생겼는데?' 라는 느낌으로.
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|벡터의 연산(이라고 하는진 모르겠습니다)이 내적과 외적 단 두개 뿐인가요?? 더 존재하지는 않는지, 존재하지 않는다면 왜 2개면 충분한지?

벡터는 내적과 외적처럼 다른 분야에서는 볼 수 없는 계산 방식을 사용하는데, 내적과 외적 말고도 벡터만의 특이하거나 신기한 계산 방식이 있는지 궁금합니다.
|연산자는 만들고자 한다면 필요에 따라 무수히 만들 수 있겠죠. 만약 교과서에서 다루지 않은 내용에 대해 조사해 알려준다면 세특 써드림.

이렇게 2개가 만들어진 이유는... 4원수의 곱셈에 대한 연구에서 나온거에요. 4원수의 곱에서 2개의 항이 나오는데, 이에 대한 의미를 찾다가.
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|벡터의 내적이나 외적이 선형대수학에서 많이 봤는데 물리와 선형대수학의 접점이 많나요(물리에 선형대수학이 많이 쓰이나요)?
|무지 많습니다. 양자역학에선 행렬이 엄청 많아요.

물체의 회전에서도 행렬으로 표현하구요.
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|우리는 3차원까지만 볼 수 있는데, 그렇다면 한 벡터를 표현하는 데에 성분 벡터는 3개까지만 사용할 수 있나요? 만약 더 사용이 가능하다면 어떻게 바라봐야 하고 이해해야 하나요?
|필요에 따라 더 늘릴 수 있습니다. (x, y, z, t) 처럼 시간축에 대한 정보를 더한다든가, 우리가 인지하지 못할 뿐, 우리가 살아가는 차원은 더 깊으니까요.
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|4차원이라는 표현을 쓰는 경우가 많이 있는데 그것의 의미가 어떻든 4차원 혹은 고차원을 표현하는 벡터는 어떻게 표현하고 있다면 어떤 연산규칙이 적용되나요?
|또 다른 허수를 도입해서 표현하면 됩니다.
연산규칙은 벡터공간 안에 있다면 2, 3차원 벡터를 다루는 것과 동일합니다.
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|외적과 내적은 식을 풀었을 때, 식의 모양이 외적과 내적이 같을 때 이를 외적과 내적을 사용하는데, 이렇게 외적과 내적으로 나타내는 것이 어떠한 의미를 가지나요?
|내적은 일과 에너지를 구할 때, 외적은 회적력을 구할 때 사용되는 기초도구입니다.
단순하게 생각하면 물리에서 쓰던 개념들이 적절한 수학적 표현을 만나 오늘날의 표현방식으로 굳어지게 되었습니다.
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|외적에서 그니까 회전에서 생기는 방향은 무슨 의미가 있는 것인가요, 그쪽 방향으로 힘이 작용 한다던지 뭐 그런 게 있는 건가요 아니면 그냥 상징? 비슷한 건가요?
|회전의 방향을 알려주죠. 단순히 말하면 반시계인가, 시계방향인가.
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|aㆍb x c 와 같이 내적 외적이 혼합된 계산은 어떻게 하나요.
|삼중곱이라는 개념이 있어요. 지금 다룰 만한 내용은 아니라.. 혼자 탐구....하시길. ㅎㅎ 제 PDF에도 있을거에요.
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!연산
|벡터와 스칼라를 연산할 수 있나요?
|네, 벡터 덧셈이 성립하잖아요? 때문에 스칼라 곱연산이 가능합니다. 단순히 성분들을 스칼라배 하면 되요.
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|i, j, k의 연산을 알려주세요 ex) i x j or j x i
|i x j = k, j x i = -k 입니당. 분명 수업 때 하지 않았던가...?
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|내적과 외적 중 먼저 계산해야 하는 것이 무엇인지 궁금합니다.
|아, 덧셈과 곱셈이 있을 때 연산 우선순위가 있듯, 내적과 외적외서의 우선순위를 묻는 건가요? 어떤 걸 먼저 하든 상관 없어요. 둘 다 곱셈에 해당하는 물리량이고 연산순서가 바뀌어도 답은 일치합니다.
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|벡터를 세 개 곱할 때 두 개를 먼저 곱하고 다른 하나를 곱해서 행렬식을 사용하는 것이 아니라 세개를 한번에 행렬식으로 계산할 수는 없나요?
|성분들 살펴서 행렬식으로 표현해 보면 알지 않을까?

3중곱이라는 개념이 있는데 여기에 대해 공부해서 보고해주면 세특 써드림.
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|스칼라 곱에서 두 벡터의 x성분, y성분, z성분이 반대면 곱했을 때 무조건 음수의 값이 나올텐데 그러면 좌표계를 바꾸었을 때에도 그 각 성분의 곱이 같아지면 결론적으로 다른 좌표계에서 같은 곱이 나온 것인데 같다고 볼 수 있나요?(그냥 정의가 그런 건가요)
|양 벡터 모두 반대성분을 갖는다면 '-' 곱하기 '-'이니까, 결국 +가 나오죠.

내적이 음수가 나온다면 좌표계를 바꾼다 하더라도 두 벡터는 여전히 서로 다른 방향을 보고 있겠죠.
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!활용
|a벡터를 (x,y,z)라고 하면, 1/(a벡터) 는 어떻게 정의되나요? 역수라는 개념 자체가 스칼라에 한정되어 정의된 것이라서 벡터의 역수라는 개념 자체를 정의할 수 없을까요?
|선생님 PDF 파일에 이에 대해 다루고 있긴 해요. 벡터 곱셈의 역원은 다룰 수가 없죠;;
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|전류는 벡터인가요?
|방향성과 크기가 있으니 벡터라고 할 수 있죠.
그런데 사실은... 전류는 벡터가 아니에요; 전류는 <math>I = \frac{dq}{dt}</math>로, 전하량과 시간에 의해 정의되는데, 둘 다 스칼라니까요.
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!기타
|벡터의 개념은 알지만 문제를 마주했을때 저게 뭔말인가 싶습니다
|차차 적응될 거에요... 파이팅; 뭐라 도움을 주기엔 추상적인 질문이네요;;
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|3차원에서의 운동을 표현하기 위해 사원수를 만들었는데 4차원 더 나아가 n차원의 운동도 이와 같은 방식으로 표현할 수 있을까요?
|내적은 n차원에서도 성립하는 연산방식이지만, 외적은 살펴보았듯 i j k 안에서만 돌기 때문에 3차원에서만 정의됩니다.
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|압력은 단위 면적 당 힘이라는 정의를 가지고 있는데, 왜 스칼라 양인가요? 찾아봤는데 너무 어려운 내용이라서요.
|단위면적당 힘. F=PA 형태죠??
면적에 방향성이 있기 때문이죠! 그리고 압력은 해당 '점'에 대한 정보잖아요?

압력은 방향성이 없는, 공간에 대한 특성이기 때문입니다.
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