고급물리:질량중심 편집하기

{{현재 교육과정:고급물리}}
==배우는 이유==
{| class="wikitable"
!흥미적
이유
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===출발질문(마지막까지 학습한 후에 대답해보세요~)===

#지금까진 물체를 하나의 입자처럼 다루어 왔는데, 부피를 가진 실제 세계에서도 지금까지 배운 방식을 그대로 적용할 수 있을까?
#오뚝이가 넘어지지 않고 다시 서는 이유는?

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!직업적
이유
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*각종 이공계 학문의 기초.
*로켓의 추진을 설명하는 간편한 도구.
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!학문적
이유
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*입자의 충돌을 설명하는 간편한 도구.
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!너희들은?
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!배워야 할 것
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|}
==도입==
<youtube>https://www.youtube.com/watch?v=MsOXAuW8fXA</youtube>
==학습==
===영상===
{| class="wikitable"
!실험
!영상
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|}
==수업요약==
===질량중심===
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{| class="wikitable"
!개념
!설명
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|질량중심
|물체의 모든 질량이 모인 것처럼 보이는 한 점.
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|1차원에서 질량중심 찾기
|입자 1이 원점에, 입자 2가 d 지점에 있다면 질량중심은 어디에 있을까?
시소와 균형의 경험으로부터...

*만약 두 입자의 질량이 같다면?
*두 입자의 질량비가 n:m이라면?

질량중심으로부터의 거리를 각각 <math>d_1, d_2</math>라고 하면 <math>m_1 d_1 =m_2 d_2</math>의 관계가 있을 것이다.

<math>d_1 +d_2    =d</math> 임을 이용하여 <math>d_2</math>를 소거해 정리하면 질량중심은 <math>d_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2}d</math> 이다.
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|1차원에서의 일반화
|입자 1이 항상 원점에 있는 건 아닐테니, 입자 1이 <math>x_1</math>에 있다고 가정하면...?

<math>x_{com} = \frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}</math> 어디서 많이 본 형태인데... 수학에서 내분점 식과 동일한 형태이다.
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|3차원에서의 일반화
|직선에서 내분점을 구하듯, 자연스럽게 3차원으로 확장된다.
<math>x_{com} = \frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}</math>, <math>y_{com} = \frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_1+m_2}</math>, <math>z_{com} = \frac{m_1z_1+m_2z_2}{m_1+m_2}</math>
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|여러 입자에 대한 일반화
|다른 입자를 추가한다면..?
기준 두 입자를 하나의 입자로 취급할 수 있다. <math>x_{3com} = \frac{Mx_{com}+m_3x_3}{M+m_3}</math>

<math>x_{3com} = \frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}</math>

n개 입자들의 질량중심은 <math>x_{com} = \frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}= \frac{1}{M}\sum_{i=1}^n m_i x_i</math>
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|수많은 연속 입자들에 대한 일반화
|수많은 미소질량들의 질량중심.
<math>x_{com} = \frac{\Delta m_1x_1+\Delta m_2x_2+\cdots+\Delta m_nx_n}{\Delta m_1+\Delta m_2+\cdots+\Delta m_n}= \frac{\sum_{i=1}^n \Delta m_i x_i}{\sum_{i=1}^n \Delta m_i}</math>

<math>\frac{\sum_{i=1}^n \Delta m_i x_i}{\sum_{i=1}^n \Delta m_i} = \frac{\int xdm}{\int dm} = \frac{1}{M}\int xdm</math>

이걸 적분하려면 dm과 x의 관계를 알아야 하는데, 이를 위하여 밀도가 일정하다 가정하여 다음과 같이 쓴다.

<math>\frac{1}{M}\int xdm = \frac{1}{M}\int x dV \frac{M}{V}</math> 보통 dV는 위치변수의 영향을 받아, <math>A(x)dx</math> 로 쓴다.

<math>x_{com} = \frac{1}{V}\int x A(x) dx</math>
|}
===질량중심과 뉴턴의 법칙===
물체를 하나의 점으로 취급했을 때 뉴턴의 법칙이 그대로 적용될까??
{| class="wikitable"
!개념
!설명
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|관성의 법칙
|두 입자가 충돌할 때 질량중심의 변화.
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|가속도의 법칙
|질량중심 자체의 미분.
가속도의 법칙을 다루는 중에 입자 사이의 운동량 보존법칙을 얻을 수도 있다.
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|작용-반작용의 법칙
|위 법칙의 적용으로 그대로 적용됨을 알 수 있다.
|}
<nowiki>############</nowiki> 2차시로 나누어 진행.

===여러 강체들의 질량중심===
{| class="wikitable"
!구분
!설명
|-
|이등변삼각형
|모든 도형의 기초는 삼각형...
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|반구
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|반구껍질
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|반원고리
|일반적인 순서라면 1,2,3차원 순으로 올라가는 게 맞지만.. 여긴 적분이 어려워서 뒤에 배치했다.
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|반원반
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|}

*강체 안에 구멍이 나 있는 경우.

이외 삼각형 고리의 질량중심이라든가... 이런저런 게 가능하겠는걸?

===전개질문===

#각각의 회전관성을 증명하는 연습을 해보세요.(따로 검사는 안함. 설문엔 아무말이나 쓰세요.)

===도착질문===

#또 어떤 물체의 질량중심을 알아보면 좋을까??

2023 2학년 전상영의 문제.
{| class="wikitable"
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|마찰이 없는 면 위에 의자가 놓여있고, 그 위에 사람이 움직이면, 질량중심의 위치는 그대로이다. 그렇다면 현실 세계에서는 왜 몸을 앞뒤로 움직이며 앞으로 갈 수 있는걸까? 외력의 작용을 과정마다 설명하시고 이렇게 움직일 수 있는 조건에 대해 말하시오
|}

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==학생들의 질문==
===분류하지 않은 질문===
{| class="wikitable"
!분류
!질문
!대답
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|개념
|무게중심과 질량중심의 차이는?
무게 중심과 질량 중심은 같은 건가요?
|무게중심은 질량중심과 유사하게 무게가 한 지점에 있는 것처럼 작용하는 점이다.(물리적으론... 알짜 토크가 0이 되는 지점)

기본적으로 질량중심과 무게중심의 위치는 동일하지만, 물체가 아주 커져서 입자마다 받는 중력가속도의 크기가 달라지면 달라질 수 있다.
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|액체의 경우 질량중심이 어떻게 되나요?
|중력을 버티지 못하고 질량중심이 아래로 가라앉습니다. 하지만, 액체가 흩어져도 x축 방향의 질량중심은 변하지 않습니다.
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|반발계수는 왜 e인가요?
|그러게요. 영어로는 coefficient of restitution인데 말이죠;

아마 뉴턴이 쓴 표기가 오늘날까지 이어진 게 아닐까 싶은데... 반발의 정도는 물체의 탄성과도 관련이 있잖아요? elasticity의 e가 아닐까요?

정확한 출처를 찾아온다면 세특 ㄱㄱ함~
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|3차원에서 질량중심은 어떻게 구하나요?
|1,2차원에서와 동일합니다. z축에 대해서만 더 해주면 됨.
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|질량중심 구할 때 삼각함수의 역함수를 사용했었던 것 같은데 치환적분을 이용하면 훨씬 간단하게 계산할 수 있지 않나요?
|ㅇ옷;;;; 어떻게? 알려주세요!
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|원자의 질량중심 을 구한다면 불확정성의 원리에 의해 질량 중심이 확률적으로 나타나나요?
|네. 명확한 지점은 고전역학에서 가능한 거니까요!
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|실제세계에서는 밀도가 부분마다 모두 다르고 함수 형태로 나타내기 쉽지 않을텐데 질량중심을 수식적으로 구할 수 있나요
|완벽한 삼각형을 그릴 수 없지만, 삼각형의 성질을 알면 많은 걸 할 수 있듯.. 근사적으로 알아가는 것 자체로도 가치가 있죠.
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|질량중심이 도넛의 가운데 빈 공간인 경우도 있나요?

질량 중심이 물체 바깥에 있을 수 있나요?
|네. 질량중심이 물체 밖에 있는 경우도 있어요!!!
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|물체의 형태에 따라 질량중심이 물체 밖에 존재하기도 하는데, 그렇다면 이를 어떻게 받아들여야 할까요?
|아, 어디 있는지 알지만 잡을 수 없는 것도 있구나... 하고 인지하면 될 것 같습니다 ㅎㅎ.
비록 질량중심이 물체 밖에 있긴 하지만, 물체를 기울이면 충분히 떠받칠 수 있습니다. 질량중심의 연직 연장선이 물체에 닿아있기만 하면 그 물체를 직접 떠받칠 수 있죠.
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|책상?에 사슬같은 연속체가 걸쳐져서 떨어지고 있으면 질량중심으로 퍼텐셜 에너지 변화량, 어떤 지점에서의 속도, 모두 추락했을 때 바닥에 한 일 등을 어떻게 계산해야 하나요?
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|물리는 어떤 세계인가요. 순수물리도 깊이 있지만 공학(응용)물리도 장난아닐것 같은데
|배워야 할 게 정말 많은 세계겠지요.
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|태양을 일정한 속도의 원 궤도로 공전하는 지구가 있다고 가정합니다. 태양과 지구를 하나의 계로 취급한다면 지구가 공전하는 원인은 계의 내부에 있고 계에 외력이 (유의미할 정도로)작용하지 않으므로 질량 중심이 변하면 안되는데 태양이 가만히 있고 지구가 돌고 있다고 생각하면 질량 중심은 지속적으로 변합니다. 이런 상황은 모든 다른 요인을 포함하여 생각하면 질량 중심이 안변하는게 맞는 건지, 그냥 모순이 발생하는 건지, 아니면 애초에 지구와 태양을 하나의 계로 생각할 수가 없는 건지 궁금합니다.
|태양이 가만히 있다고 생각하는 게 오류입니다. 태양도 지구의 인력에 끌려 공전을 합니다. 질량중심이 태양 중심에 위치하는 게 아니라, 태양과 지구 사이 어느 지점에 위치하는데, 태양 또한 이 질량중심을 축으로 공전합니다.
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|규차적인 모양이 아닌 물체의 질량중심은 구하지 못하나요?
|규칙적이지 않더라도, 함수로 표현할 수 있는 것이라면 무엇이든 구할 수 있죠. 최근엔 컴퓨터가 있으니 굳이 손으로 계산하지 않더라도, 공학적인 방법을 통해 연산할 수도 있고, 직접 찾아낼 수도 있고!
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|호기심
|관성력이 실제 현상을 설명하기 위해 도입한 가상의 힘으로 알고 있는데 가상의 힘으로 그 현상을 설명하면 그 현상이 설명되었다고 말할 수 없는 것 아닌가요?
|물체의 낙하를 설명하기 위해 '중력'을 도입하였는데, 가상적인 중력의 힘으로 설명하면 그 현상이 설명되었다고 말할 수 없는 것 아닌가요?

어떻게 보면 중력도, 전자기력도 가상의 힘이죠. 왜 있는지 설명하지 못하니까요. 그저 질량, 전하가 있을 때 그 힘이 발생한다는 것을 알 뿐이지. 마찬가지로 계가 가속을 할 때 관성력이 발생한다고 이해하면.... 좋겠지만, 관성을 받아들이기는 쉽지 않죠. 관성력을 이해하기 위해선 다양한 상황에 대해서 고민을 해봐야 할거에요. 제가 이런 고민을 체계적으로 해결해주진 못한 것 같네요;; 고민해봐야겠어요.
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|기타
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|헛소리
|물리학vs인간관계
뭐가 더 어려운가요? 그 이유는?
|그건 성향에 따라 다른 걸로...
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:#

=더 나아가기=
교과 내용이 너무 쉬워서 더 공부하고 싶은 사람들은 보세요~

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{{접기

|제목=보기 전에 먼저 생각해보세요~

|내용=
|형태=mw-collapsed toccolours}}
===수업 후, 흥미로운 것===
시간이 남을 때에만 보세요~

위치에너지의 위력. https://i.imgur.com/MvtTE8w.mp4

남자 다수가 모이면 하는 병신짓. https://www.dogdrip.net/435829635
=답=
{| class="wikitable"
! colspan="2" |지금까진 물체를 하나의 입자처럼 다루어 왔는데, 부피를 가진 실제 세계에서도 지금까지 배운 방식을 그대로 적용할 수 있을까?
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!답변
!선생님코멘트
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|아니요, 입자세계에서는 밀도를 고려하지 않고 계산하였지만, 실제 세께는 밀도를 고려해야해서 약간의 변형이 필요하다고 생각합니다
|앗; 그;; 그렇긴 하죠;;; 밀도도 고려해야 합니다;; 굉장히 복잡해서.. 대충 무시하면서 다루긴 하지만;;
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|아니요. 밀도가 균일하지 않습니다.

안될 것 이다. 질량 분포가 고르지 않기 때문이다.
|균일하지 않은 밀도를 위치에 대한 함수로 표현할 수 있다면 계산에 무리는 없을듯!!
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|안될듯
|;;;
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|질량중심을 잘 따지고 물체가 변하거나 부서지지 않게 하면 된다

고려해줘야 하지만 질량 중심에서의 하나의 입자로 생각하면 대강 비슷하게 다룰 수 있지 않을까요?

시그마를 이용 못 하므로 적분해주자
|네. 논리적인, 수학적인 모델을 현실세계에 적용하기 위한 논의죠.
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|질.량.중.심. 우리가 질점으로 다뤄왔던 공식들이, 질량중심에도 똑같이 적용된다는 것을 하나씩 증명해나가면 마음편히 쓸 수 있지 않을까요. 우리가 했었던 운동량 보존이나 뉴턴의 운동법칙같은것.
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! colspan="2" |또 어떤 물체의 질량중심을 알아보면 좋을까??(이 설문과 별개로, 나중에 증명해서 와보세요~ 세특에 써줌.)
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!답변
!선생님코멘트
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|자신

조성하의 질량중심
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|볼펜
|오. 볼펜 광고할 때 질량중심 이야기하는 회사도 있음!
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|우주의 질량중심을 구하면 재미있지 않을까요
|오... 그곳이 아마 빅뱅이 일어난 곳이겠지요...! 어떻게 구할 수 있을까!?
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|비행기의 질량중심
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|피카츄(사진을 가져와서 2차원에 밀도가 균일하다면 가능할지도?)
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|사분원
|괜찮은데!?
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|사람이 살이찌거나 빠질 때 몸의 질량 중심의 변화? 어떠한 방식으로 어디에 살이쪘는지에 따라 달라지지 않을까요
|오... 생물 R&E나 탐구논총으로 괜찮은 주제겠네요!
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|로켓이나 비행기처럼 연료감소로 무게중심이 변화하는 물체. 실제 설계에도 중요할듯. mig21은 연료통 설계를 잘못해서 연료를 모두 소비하면 굉장히 불안정해서 연료를 다 쓰지 않고 남겨놔야 했다네요.
|오.. 이런 건 어디에서 아는거얔ㅋㅋㅋ
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|한 변은 곡선(포물선)이고 한 변은 직선으로 둘러싸인 물체. (U모양 위에 _가 덮여져 있는 모양?)
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|태양계의 질량중심(태양,행성,위성만)
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|고깔 모양(바닥 뚫린 원뿔)
|좋은 주제인 듯합니다!
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! colspan="2" |
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!답변
!선생님코멘트
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=생기부 기록 예시=
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!선생님코멘트
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|열팽창의 예시를 찾아보라 지시했을 때 여타 학생들이 교과서에서 안내되는 예시를 답하는 반면, 독자적인 조사로 참신한 답을 찾아내는 의욕과 성실함을 갖춤.
|}
=각주=
<references />