고급물리:일과 에너지 편집하기

{{현재 교육과정:고급물리}}
==배우는 이유==
{| class="wikitable"
!흥미적
이유
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===출발질문(마지막까지 학습한 후에 대답해보세요~)===

#일을 계산할 때 어째서 단순히 힘과 변위를 곱하는 게 아니라 내적하는 걸까?
#권투에서 잽보다 훅이 더 센 이유는?

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!직업적
이유
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*각종 이공계 학문의 기초.
*화학, 지구과학, 물리, 생물 등 입자간 충돌과 발생열 등을 다루는 기초도구.
*PT트레이너 등 체육 관련 계열에서도 운동학을 배운다.
*물체의 파괴, 폭발물의 위력 등을 나타내는 데 충격력보다 더 범용적으로 사용되는 도구.(힘이 커도 지속시간, 지속거리가 짧으면 위력이 약하다.)
*
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!학문적
이유
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*운동량과 힘으로 계산하기 어려운 상황에서 계산을 줄여주는 도구.
*화학변화에서 나오는 열을 예측하거나, 천체들의 운동을 계산하는 데 유용한 도구. 계산을 엄청나게 단순하게 만들어준다.
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!너희들은?
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!배워야 할 것
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|}
==도입==
<youtube>https://www.youtube.com/watch?v=Cz3-5Z2hxU0</youtube>
==학습==
===영상===
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!실험
!영상
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==수업요약==
이번 수업의 의미는 새로운 걸 알아간다기 보단... 과거에 배웠던 걸 새로운 용어로 확인하는 것.

===에너지===
일을 할 수 있는 능력.
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!단계
!설명
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|기원
|빠르면 1400년대 부터, 늦게는 1600년대부터 운동에서 어떤 물리량이 보존되는지 연구했고, 1849년에 이르러서야 윌리엄 톰슴이 운동에너지라는 용어를 처음 사용했다.
굉장히 오랜 시간, 광범위한 과정을 거쳐서 발견해낸 물리량으로, 그 역사를 간략하게 소개하긴 어렵다.(그걸 해내면 세특 써줘야지.)
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|복습
|운동에너지는 <math>\tfrac{1}{2} mv^2 </math> 형태.

중력위치에너지는 mgh 형태.

탄성위치에너지는 <math>\tfrac{1}{2} kx^2 </math>
|}
===일===
<math>\overrightarrow{F} \cdot  \overrightarrow{s}</math>
{| class="wikitable"
!단계
!설명
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|기원
|아마 도르레, 빗면, 지렛대 등에서 사용되는 일의 원리가 일의 기원이 되었을듯.
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|의미
|일을 하면 물체의 속도가 변화하거나, 물체의 위치가 바뀌는 등의 효과가 나타난다.
(힘과는 구분되는데, 에너지와 엮이면서 의미가 생긴 경우인 듯)
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|의문
|왜 내적을 할까?

*상자를 끄는 예시. 물체의 운동상태 변화에 아무런 기여를 하지 않는다.
*자유로운 입자에서. 운동방향에 수직한 힘은 속력 변화에 아무런 기여를 하지 않는다.
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|일-에너지 정리
|선생님이 배울 땐 아무도 운동에너지의 기원에 대해 알려주지 않아서 고민해봤습니다....
'''일반적인 운동 상황에서의 접근.'''

물체에 힘이 가해져 미소변위 ds만큼 이동할 때, <math>dW = \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s} </math> 만큼의 일을 한다.

특정 구간 a에서 b까지 이동시킬 때 한 일은 <math>\int\limits_{}^{} dW = \int\limits_{a}^{b} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s}
=\int\limits_{a}^{b} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s} 
=\int\limits_{a}^{b} m\tfrac{d^2x}{dt^2} dx </math> 이다.

<math>\int\limits_{a}^{b} m\tfrac{d^2x}{dt^2} dx
=\int\limits_{}^{} m\tfrac{dv}{dt} v dt =\int\limits_{v_a}^{v_b} \tfrac{m}{2} d(v^2) </math> 이다.

<math>\int dW =\tfrac{1}{2}mv^2_b - \tfrac{1}{2}mv^2_a </math>에서 처음 속도가 0이라고 하면 일을 한 만큼 운동에너지가 증가함을 알 수 있다.

- 반대로 마찰력이 일정하게 작용하는 지점에서 물체가 나아간 거리 d는 얼마나 될까?

<math>v= v_0 -at</math>와 <math>x=v_0t - \frac{1}{2}at^2</math> 을 이용하면 알 수 있다.

<math>\tfrac{1}{2} mv^2 = F_{ext} d </math> 의 관계가 있다.

(일을 한 만큼 운동에너지가 증가하고, 운동에너지만큼 일을 할 수 있다.)

'''힘 자체에 대한 수학적 접근.'''

<math>F=\frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}=mv\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}(\frac{1}{2}mv^2) </math>

=> 결론. 일을 해준 만큼 해당 계의 에너지가 증가한다는 것.
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|부록
|위와 같은 적분을 선적분이라 한다.
|}
===대표적인 형태===
{| class="wikitable"
!구분
!설명
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|중력이 한 일
|'''내가 한 일.'''
내가 한 일은 mgh 이다. 수직방향이 아니라면 <math>mgd \cos\theta </math>

'''중력이 한 일.'''

어떤 물체가 위로 수직상승할 때 중력은 물체에 아랫방향으로 mg만큼의 힘을 가한다. 이동거리는 h라면, 힘과 이동거리는 반대이기 때문에 중력이 한 일은 <math>-mgh </math> 가 된다.

수직한 방향이 아니라 대각선으로 d만큼 이동시킨다면 <math>-mgd \cos\theta </math> 이다. <math>d \cos\theta =h </math> 이므로 중력이 한 일은 높이 변화에만 연관이 있다.
|-
|탄성력이 한 일
|'''내가 한 일.'''
<math>\int\limits_{}^{} dW = \int\limits_{a}^{b} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s}
=\int\limits_{a}^{b} kx dx
=\int\limits_{a}^{b}  \tfrac{k}{2}dx^2 </math>

'''탄성력이 한 일.'''

물체가 처음에 운동하던 상태로, 용수철을 변화시키고 있는 상황이라면 용수철이 한 일은 <math>\int\limits_{}^{} dW = \int\limits_{a}^{b} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s}
=\int\limits_{a}^{b} -kx dx
=\int\limits_{a}^{b} - \tfrac{k}{2}dx^2 </math> 이 된다. 용수철이 -부호의 일을 한다.

물체가 멈춰있던 상태로, 용수철이 압축되어 있다가 물체를 밀어내는 상황이라면 용수철이 한 일은 <math>\int\limits_{}^{} dW = \int\limits_{a}^{b} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s}
=\int\limits_{a}^{b} kx dx
=\int\limits_{a}^{b}  \tfrac{k}{2}dx^2 </math> 이 된다. 용수철이 한 일만큼 운동에너지가 증가한다.
|}
===일의 주고 받음(일-에너지 정리 심화)===
이 말장난이 굉장히 헷갈린다;; 

마치... 다음 언급처럼..

*충돌 후 -t 초 = 충돌 t초 전
*충돌 -t초 전 = 충돌 t초 후

일상생활에선 쓰이지 않지만, 어떤 현상을 논리로 다룰 때...
{| class="wikitable"
!상황
!수레의 관점
!손의 관점
|-
|손으로 수레를 민 상황
|수레가 양의 일을 받았다.
수레가 음의 일을 했다.
|손이 양의 일을 했다.
손이 음의 일을 받았다.
|-
|손으로 수레를 멈추는 상황
|수레가 음의 일을 받았다.
수레가 양의 일을 했다.
|손이 음의 일을 했다.
손이 양의 일을 받았다.
|}받았다를 '양+'의 개념으로 생각하면 다음과 같이 정리된다.
{| class="wikitable"
!상황
!수레
!손
|-
|손으로 수레를 민 상황
| +
| -
|-
|손으로 수레를 멈추는 상황
| -
| +
|}
+면 에너지가 늘어나고, -면 에너지가 감소한다고 생각하면 되겠다.

===전개질문===

#가해준 <math>dW = \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s} </math> 이 양의 값일 수도, 음의 값일 수도 있다. 양의 값일 때 일어나는 일과 음의 값일 때 일어나는 일을 서술하시오.

===도착질문===

#수업에서 설명한 것 외에 '일'을 적용해 탐구할 수 있는 것은 무엇이 있을까?
#

==학생들의 질문==
===분류하지 않은 질문===
{| class="wikitable"
!분류
!질문
!대답
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|개념
|일을 한다, 일을 받는다 라고 표현을 하는데, 일을 에너지라고 써도 똑같은것 같아서, 둘을 바꿔도 될까요. 무슨 차이가 있고 어떻게 다르게 써야 하나요
|비슷한 거지만, 사용하는 동사가 달라지지요.
'일을 한다 = 에너지를 가한다' 라고 표현해야 하지 않을까요?

'일을 받는다 = 에너지를 받는다' 비슷한 표현도 있지만...


'일=소비, 에너지=돈'의 관계가 있다고 하면 좋을듯?

'노트북을 샀다 = 돈이 줄었다'
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|퍼텐셜 에너지는 중력과 용수철에 의한것만 있나요?
|용수철이나 중력처럼 일을 가했을 때 어딘가에 일을 저장했다가 다시 내뱉을 수 있는 녀석이면 됩니다.
전기퍼텐셜, 자기퍼텐셜... 또 뭐가 있을까?
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|평균 일이라는 개념이 존재할까요?
|특정 시간 동안 받은 평균 일...은 평균 일률이 되겠군요. 뭐, 말은 만들기 나름이겠죠. 평균 용돈 소비량을 계산할 수 있듯, 평균 소모 에너지, 평균 공급 에너지 등을 말할 순 있겠죠.
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|일이라는 것이 이동방향과 작용한 힘의 방향이 이루는 각이 90도인 경우 해준 일이 0이라는 것은 알겠는데 일정한 높이에 물체를 들고 앞으로 나아갈 때 해준 일이 0이라는 것은 수식적으로는 알겠으나 직관적으로 이해가 가지 않습니다.
|단순화 해서 생각하면 편해요. 그 물체에 힘을 가했을 때 그 물체의 에너지에 변화를 줄 수 있느냐 없느냐!
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|호기심
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|기타
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|헛소리
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=더 나아가기=
교과 내용이 너무 쉬워서 더 공부하고 싶은 사람들은 보세요~

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{{접기

|제목=보기 전에 먼저 생각해보세요~

|내용=
|형태=mw-collapsed toccolours}}
===수업 후, 흥미로운 것===
호버보드가 사고 싶다면? 구매 전 봐야 할 영상.

<youtube>https://www.youtube.com/watch?v=9zZ3QZDIT3c&t=2s</youtube>

급제동이 위험한 이유

<youtube>https://www.youtube.com/watch?v=dobGGs5PZf0</youtube>

=답=
{| class="wikitable"
! colspan="2" |일을 계산할 때 어째서 단순히 힘과 변위를 곱하는 게 아니라 내적하는 걸까?
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!답변
!선생님코멘트
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|힘과 변위 만을 곱하여 계산하는 것보다 내적을 하는 것이 더 정확하기 때문이다
|그니까;; 왜 정확하냐고;;;
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|힘을 안준 방향으로 일을하면 이상하니까
|힘을 안 준 방향으론 일이 발생하지 않아서 무시합니다.
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|이동 방향과 수직으로 작용한 힘의 경우 해준 일이 0이기 때문이다.

일을 계산할 때 같은 방향의 힘만 고려하기 위하여
|네, 이를 무시하기 위해 내적을 하죠!
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|힘과 변위가 아닌 내적을 하는 이유는 방향이 변해도 물체의 운동에 영향을 주지는 않아서?
|네, 그래서 수직성분을 무시하기 위해서 내적을 하죠!
운동에 영향을 주지 않는다는 말보단, 운동에너지를 증가시키지 않아서요!
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|변위와 같은 방향으로 힘이 작용했을때가 일을 한 것이기 때문이다. 예를 들면 이동방향에 수직인 힘의 성분은 일을 하지 않는다.
|굳
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|외적을 한다는 말은 방향성을 고려한다는 것이다. 그러나 일을 할 수 있다는 것은 에너지를 갖고 있다는 것인데, 에너지는 방향성을 갖고 있지 않다. 에너지를 갖고 있는 상태를 의미하므로 내적을 해서 크기만을 구하는 것이라 생각한다. + 같은 방향의 성분만을 고려하기 위해서
|오, 방향성을 갖지 않는 다는 의미에서~ 좋은 발상이네요.
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! colspan="2" |권투에서 잽보다 훅이 더 센 이유는?
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!답변
!선생님코멘트
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|(운동)에너지가 더 많아서,
|왜 많죠??!?!?
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|힘이 작용하는 시간이 짧기 때문이다
|주어..가 정확하지 않아요;
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|잽보다 훅이 이동거리가 더 커서

몸을 틀어 주먹의 이동거리를 늘려주기 때문에?

이동 거리가 더 길어서?

F(힘)가 일정하다고 할 때 훅이 잽보다 s(이동 거리)가 크기 때문에 가하는 일의 크기가 더 커진다.
|굳.
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|더 많은 일을 해서 역학젓 에너지가 크기 때문이다
|네
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|훅은.. 어떻게 보면 원심력도 함께 작용하니 자명한 사실 아닐까요
|엌ㅋㅋㅋ 원심력인데 수직한 힘은 일을 안하잖아요!!
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|잽잽 훅 잽잽 훅 ~ FΔt에서 Δt가 충분히 길기 때문에 충격량 I가 더 크다.

힘을 가하는 시간이 더욱 길기 때문이다
|오, 충격량으로 접근, 괜찮네요.
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|잽을 팔만 쓰지만 훅은 허리를 돌리며 몸무게를 싫기 때문

잽은 체중을 싣지 않고, 훅은 체중을 싣는다. 훅은 수평으로 유사 반원을 그리므로 구심력이 작용한다. 그리고 팔이랑 팔꿈치가 90도 여서 내적을 하면 햐주는 일이 최댓값이 나온다.
|맞는 말이긴 함. 근데, 잽도 몸무게를 싣지 않나요?
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! colspan="2" |가해준 일의 양이 양의 값일 수도, 음의 값일 수도 있다. 양의 값일 때 일어나는 일과 음의 값일 때 일어나는 일을 서술하시오.
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!답변
!선생님코멘트
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|양의 값일 때는 일을 해준 거고 음의 값일 때는 일을 받은 거다.
|주어가 명확하지 않아요. 내가 받은 일이 양의 값이라면?!
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|양의 값일 때는 원래의 상태에서 더 가속이 되고 음의 값이면 줄어든다

양의 값일때는 원래 운동방향에 속력이 더해지고 음의 값일때는 속력아 줄어든다
|주어가 명확하지 않아요;
수레가 상자를 밀 때 가한 일이 양의 값이라면?!
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|가해준 일이 양이면 일을 받은 물체의 에너지가 증가하고 음이면 에너지가 감소한다.

일의 양이 음의 값이라면 일을 한것이고 일의 양이 양의 값이라면 일을 받은 것이다.

양의 값의 일을 해주면 운동 방향의 속력이 빨라지고 음의 값의 일을 해주면 운동 방향의 속력이 감소한다.
|주어가.
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|양의 값 일 때는 힘을 가해준 방향으로 물체가 움직이고 음의 값 일 때는 힘을 가한 방향의 반대 방향으로 움직인다
|굳.
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|양의 값 -> 에너지를 얻는다, 음의 값-> 에너지를 잃는다
|주어가 명확해야 할 것 같아요.
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|양의 일을 해주었을때는 역학적에너지가 늘어나고 음의 일을 해주면 역학적에너지가 감소한다
|이번엔 목적어가 정확하면 좋을 것 같아요.
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|가해준 일이 양일 때: 물체의 에너지가 감소한다. 음일 때: 물체의 에너지가 증가한다.
|ㅗ오오오오.
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|W<0일 경우 A가 B 에게 W 만큼 일을 했을 때 A의 에너지는 절댓값 W만큼 증가하고 B의 에너지는 절댓값 W만큼 감소한다. W>0일 땐 그 반대 이다.
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! colspan="2" |수업에서 설명한 것 외에 '일'을 적용해 탐구할 수 있는 것은 무엇이 있을까?
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!답변
!선생님코멘트
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|비행기가 엔진을 이용해 추진하며 나아가는데, 그 힘과 이동거리를 곱하면 도착까지 필요한 에너지를 구할 수 있고 필요한 연료의 양을 계산할 수 있지 않을까요.
|오, 재미있는 발상이네요. 연료의 효율을 안다면 필요한 연료의 양을 계산할 수 있을 것 같아요!
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|현준이가 차서 날린공이 중력에 의해 받는 일
|음, 중력으로부터 일을 받아서 공의 속도가 느려지는 걸 볼 수 있겠네요!
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|W = mas cos x 에서 음의 일을 해준다고 했을 때, 반물질처럼 질량이 음수가 될 수는 없을까?
|재미있는 발상인 듯한데... 이미지가 그려지진 않네;
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|자동차가 브레이크를 밟을 때 일을 받아 정지하게 되는데, 일상생활에서도 일정한 힘을 받아 가속도가 일정할까? 아니라면 어떻게 변하고 변화를 주는 요인에는 무엇이 있을까?
| - 브레이크의 요철이 있을 것이고,
- 브레이크를 밟는 발의 떨림이 있을 것이고,

- 바퀴와 바닥 사이의 요철이 있을 것이고,

뭐가 더 있을까?
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|일을 적용해 탐구할 수 있는 것은 저항이 한 일이 있다
|오, 역학적 일은 아니지만 좋습니다.
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|물체를 들고 걸어갈 때 진짜 물체에 해준일이 0일까?
|ㅇㅇ 물체의 에너지가 변하지 않는다면.
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|마찰열?
|굳
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|}
=생기부 기록 예시=
{| class="wikitable"
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!선생님코멘트
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|열팽창의 예시를 찾아보라 지시했을 때 여타 학생들이 교과서에서 안내되는 예시를 답하는 반면, 독자적인 조사로 참신한 답을 찾아내는 의욕과 성실함을 갖춤.
|}
=각주=
<references />